Proiezione di Cassini

La superficie terrestre rappresentata con la proiezione di Cassini.

La proiezione di Cassini (conosciuta anche con il nome di proiezione di Cassini-Soldner o proiezione di Soldner)[1] è una proiezione cartografica cilindrica proposta nel 1745 dall'astronomo e geodeta francese César-François Cassini. Si tratta in particolare della proiezione trasversale alla proiezione equirettangolare, ottenuta applicando quest'ultima proiezione al globo, dopo che questo è stato ruotato in modo da far sì che il meridiano centrale diventi l'equatore. Considerando la Terra come una sfera, la proiezione è composta dalle operazioni:[2]

x = arcsin ⁡ ( cos ⁡ φ sin ⁡ λ ) y = arctan ⁡ ( tan ⁡ φ cos ⁡ λ ) . {\displaystyle x=\arcsin(\cos \varphi \sin \lambda )\qquad y=\arctan \left({\frac {\tan \varphi }{\cos \lambda }}\right).}

dove λ è la longitudine dal meridiano centrale e φ è la latitudine. Volendo realizzare un programma che utilizzi queste equazioni, la funzione arcotangente da usare è in realtà la funzione arcotangente2 avente come primo argomento sin φ e come secondo cos φ cos λ.

Per invertire tale proiezione le operazioni da fare sono:

φ = arcsin ⁡ ( sin ⁡ y cos ⁡ x ) λ = atan2 ⁡ ( tan ⁡ x , cos ⁡ y ) . {\displaystyle \varphi =\arcsin(\sin y\cos x)\qquad \lambda =\operatorname {atan2} (\tan x,\cos y).}

Nella cartografia moderna, questa proiezione viene sempre applicata a modelli della Terra non sferici, quali l'ellissoide di riferimento, il che rende più complicato il suo sviluppo matematico ma rende comunque la proiezione molto adatta a scopi di rilievo. Proprio per questo ultimo punto, nonostante presso i principali enti cartografici la proiezione di Cassini sia stata oggi quasi del tutto rimpiazzata dalla proiezione universale trasversa di Mercatore, alcuni enti seguitano ad usarla: ne è un esempio l'Ufficio Tecnico Erariale italiano, che ha utilizzato la proiezione di Cassini nella sua versione modificata da Soldner, ossia considerando la Terra un ellissoide e non una sfera, per redigere il Nuovo Catasto dei Terreni.[3][4]

Distorsioni

La proiezione di Cassini con indicatori di Tissot aventi diametro di 1000 km.

La proiezione di Cassini è una proiezione afilattica, ossia minimizza tutte le deformazioni senza però annullarne nessuna. In una mappa realizzata con essa, le aree lungo il meridiano centrale e quelle a loro perpendicolari non subiscono alcuna distorsione. Nelle altre aree, invece, la distorsione è maggiore nella direzione nord-sud e varia con il quadrato della distanza dal meridiano centrale. In questo modo, più grande è l'estensione longitudinale dell'area considerata e maggior è la sua distorsione e proprio per questo la proiezione di Cassini è preferibile quando si ha a che fare con aree lunghe e strette piuttosto che con aree ampie.

Tanto per dare un'idea, entro un raggio di circa 70 km la proiezione di Cassini-Soldner presenta una deformazione lineare massima dello 0,006% nella direzione del meridiano e nulla nella direzione del parallelo, quindi negli ambiti in cui è utilizzata, come nella creazione di carte catastali, essa è praticamente equivalente.[4]

Forma ellittica

La rappresentazione della superficie terrestre con la proiezione di Cassini applicata su un ellissoide particolarmente oblato con eccentricità pari a 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} .

Come detto, la proiezione di Cassini propriamente detta è quella applicata ad una sfera, mentre le stesse operazioni applicata ad un ellissoide prendono il nome di "proiezione di Cassini-Soldner" (talvolta anche solo "proiezione di Soldner"). La rappresentazione di Cassini-Soldner viene chiamata anche policentrica e viene usata utilizzando tante superfici trapezoidali basate su differenti meridiani principali.[5]

Considerando dunque la Terra come un ellissoide, la proiezione è composta dalle seguenti operazioni:[2]

N = ( 1 − e 2 sin 2 ⁡ φ ) − 1 / 2 {\displaystyle N=(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{-1/2}}
T = tan 2 ⁡ φ {\displaystyle T=\tan ^{2}\varphi }
A = λ cos ⁡ φ {\displaystyle A=\lambda \cos \varphi }
C = e 2 1 − e 2 cos 2 ⁡ φ {\displaystyle C={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\cos ^{2}\varphi }
x = N ( A − T A 3 6 − ( 8 − T + 8 C ) T A 5 120 ) {\displaystyle x=N\left(A-T{\frac {A^{3}}{6}}-(8-T+8C)T{\frac {A^{5}}{120}}\right)}
y = M ( φ ) − M ( φ 0 ) + ( N tan ⁡ φ ) ( A 2 2 + ( 5 − T + 6 C ) A 4 24 ) {\displaystyle y=M(\varphi )-M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{4}}{24}}\right)}

e M è la funzione arco di meridiano.

La proiezione inversa è invece composta dalle operazioni:

φ ′ = M − 1 ( M ( φ 0 ) + y ) {\displaystyle \varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)}

Se φ ′ = π 2 {\displaystyle \varphi '={\frac {\pi }{2}}} allora φ = φ ′ {\displaystyle \varphi =\varphi '} e λ = 0. {\displaystyle \lambda =0.}

Altrimenti si calcola T e N come mostrato sopra ma con l'uso di φ ′ {\displaystyle \varphi '} , e

R = ( 1 − e 2 ) ( 1 − e 2 sin 2 ⁡ φ ′ ) − 3 / 2 {\displaystyle R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi ')^{-3/2}}
D = x / N {\displaystyle D=x/N}
φ = φ ′ − N tan ⁡ φ ′ R ( D 2 2 − ( 1 + 3 T ) D 4 24 ) {\displaystyle \varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T){\frac {D^{4}}{24}}\right)}
λ = D − T D 3 3 + ( 1 + 3 T ) T D 5 15 cos ⁡ φ ′ {\displaystyle \lambda ={\frac {D-T{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}}

Curiosità

Nel 1993 una spedizione neozelandese di ricerca antartica ha battezzato il ghiacciaio Cassini, nella regione centro-occidentale della Dipendenza di Ross, con tale nome proprio in omaggio alla proiezione di Cassini.[6]

Note

  1. ^ Cassini, su pro.arcgis.com, Environmental Systems Research Institute, Inc.. URL consultato il 30 aprile 2020.
  2. ^ a b J. P. Snyder, Cassini Projection (PDF), in Map Projections: A Working Manual, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, United States Geological Survey, 1987, p. 92. URL consultato il 30 aprile 2020.
  3. ^ Paolo Zanelli, Proiezioni cartografiche in uso in Italia (PDF), su ing.unitn.it, Università di Trento. URL consultato il 30 aprile 2020.
  4. ^ a b Camillo Berti, Proiezioni cartografiche (PDF), su giseqgis.it, Università degli studi di Firenze, 2010, p. 59. URL consultato il 30 aprile 2020 (archiviato dall'url originale il 25 settembre 2020).
  5. ^ Antonio Catizzone, Fondamenti di cartografia, su books.google.it, Gangemi Editore. URL consultato il 30 aprile 2020.
  6. ^ (EN) Ghiacciaio Cassini, in Geographic Names Information System, USGS.

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Proiezione di Cassini, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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