Problema di Riemann

Un problema di Riemann, così chiamato dal nome del matematico e fisico tedesco Bernhard Riemann, è un problema ai valori iniziali che consiste in una legge di conservazione e da una condizione iniziale composta da due stati costanti separati da una singola discontinuità.^[1] Il problema di Riemann è particolarmente utile alla comprensione e risoluzione di sistemi iperbolici come le equazioni di Eulero, poiché alcune proprietà come le onde di shock e di rarefazione, analizzabili nel contesto di un problema di Riemann, compaiono naturalmente nella loro soluzione sotto forma di caratteristiche.

In analisi numerica, i problemi di Riemann figurano all'interno dei metodi numerici dei volumi finiti: per questo sono ampiamente usati in gasdinamica e fluidodinamica computazionale, nell'ambito delle quali i problemi di Riemann vengono risolti per mezzo di appositi solutori.

Il problema di Riemann in gasdinamica

Come esempio si investigano le proprietà del problema di Riemann monodimensionale applicato alla gasdinamica.^[2] Esso è costituito dalle leggi linearizzate della dinamica dei gas (in cui ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ e ${\displaystyle u\left(x,t\right)}$ sono rispettivamente la densità e la velocità delle particelle del gas, ${\displaystyle \rho _{0}}$ è un valore di densità di riferimento e si assume ${\displaystyle a\geq 0}$ senza perdita di generalità):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

corredate dalla seguente condizione iniziale:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=U_{L}{\text{ per }}x\leq 0\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=U_{R}{\text{ per }}x>0{\text{.}}}$

Il punto ${\displaystyle x=0}$ separa i due differenti stati iniziali, definiti sinistro e destro rispettivamente. Il sistema di equazioni differenziali può essere riscritto in forma conservativa:

${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

dove

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

e il pedice indica la derivazione parziale rispetto a ${\displaystyle x}$ o ${\displaystyle t}$.

Gli autovalori della matrice ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \lambda _{1}=-a}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}=a}$, rappresentano le velocità di propagazione delle onde all'interno del mezzo. La struttura del problema di Riemann in esame consiste quindi in due impulsi che si propagano a partire dall'origine del sistema di riferimento (${\displaystyle x=0}$), il primo con velocità pari a ${\displaystyle -a}$, il secondo con velocità pari ad ${\displaystyle a}$. Nel piano cartesiano ${\displaystyle x-t}$ queste onde seguono le cosiddette curve caratteristiche del sistema, che in questo caso sono due rette di pendenza pari a ${\displaystyle -a^{-1}}$ e ${\displaystyle a^{-1}}$: ${\displaystyle t=-x/a}$ e ${\displaystyle t=x/a}$. A sinistra della caratteristica ${\displaystyle t=-x/a}$ si conserva lo stato iniziale sinistro ${\displaystyle U_{L}}$; a destra della caratteristica ${\displaystyle t=x/a}$ si mantiene lo stato iniziale destro ${\displaystyle U_{R}}$. Nel dominio compreso tra le due caratteristiche si genera uno stato costante incognito ${\displaystyle U_{\star }}$.
Gli autovettori corrispondenti a ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ sono

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}},}$

e rispetto a questi possono essere decomposti gli stati iniziali: per qualche valore di ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, ${\displaystyle \beta _{1}}$, ${\displaystyle \beta _{2}}$ si può quindi scrivere

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}\qquad {\text{ e }}\qquad U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

Risolvendo queste due equazioni si ottengono i valori delle quantità ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, ${\displaystyle \beta _{1}}$, ${\displaystyle \beta _{2}}$:

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}},\quad \alpha _{2}={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}},\quad \beta _{1}={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}},\quad \beta _{2}={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}.}$

Lo stato incognito ${\displaystyle U_{\star }}$ si ottiene infine in funzione degli stati iniziali:

${\displaystyle U_{\star }={\begin{bmatrix}\rho _{\star }\\u_{\star }\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\rho _{L}+\rho _{R})-{\frac {1}{2}}(u_{R}+u_{L}){\frac {\rho _{0}}{a}}\\{\frac {1}{2}}(u_{L}+u_{R})-{\frac {1}{2}}(\rho _{R}+\rho _{L}){\frac {a}{\rho _{0}}}\end{bmatrix}}}$

e la soluzione completa (costante a tratti) del problema di Riemann nel dominio ${\displaystyle t>0}$ è:

${\displaystyle U(x,t)={\begin{bmatrix}\rho (x,t)\\u(x,t)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{\star },&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}.}$

Note

Bibliografia

• (EN) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3ª ed., Berlino, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-25202-3.
• (EN) Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-00924-9.

Voci correlate

• Analisi numerica
• Fluidodinamica
• Fluidodinamica computazionale
• Gasdinamica

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