Gruppo di Grothendieck

In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo ${\displaystyle S}$ è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene ${\displaystyle S}$. Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

Definizione

Costruzione esplicita

Sia ${\displaystyle (S,+\!\,)}$ un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano ${\displaystyle S\times S}$ definiamo la relazione di equivalenza

${\displaystyle (s_{1},s_{2})\sim (t_{1},t_{2})\Leftrightarrow \exists \,r\in S\;:\;s_{1}+t_{2}+r=s_{2}+t_{1}+r}$;

definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti

${\displaystyle (s_{1},s_{2})+(t_{1},t_{2}):=(s_{1}+t_{1},s_{2}+t_{2})\quad \forall (s_{1},s_{2}),(t_{1},t_{2})\in S\times S}$

che è compatibile con ${\displaystyle \sim }$.

Il gruppo di Grothendieck di ${\displaystyle S}$ è l'insieme quoziente ${\displaystyle K(S):=S\times S/\!\sim }$; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie ${\displaystyle (s,s)}$, mentre l'inverso della classe ${\displaystyle [(s_{1},s_{2})]}$ è la classe ${\displaystyle [(s_{2},s_{1})]}$.

Proprietà universale

Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo ${\displaystyle S}$, il Grothendieck è un gruppo ${\displaystyle K}$ (insieme con un monomorfismo di semigruppi ${\displaystyle i:S\longrightarrow K}$ tale che, per ogni omomorfismo ${\displaystyle f:S\longrightarrow A}$ (dove ${\displaystyle A}$ è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi ${\displaystyle g:K\longrightarrow A}$ tale che ${\displaystyle f=g\circ i}$.

La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di ${\displaystyle S}$, allora conterrà anche un'immagine omomorfa di ${\displaystyle K}$.

Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se ${\displaystyle K'}$ è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle K'}$.

In termini di teoria delle categorie, questa costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.

Esempi

• Se ${\displaystyle (T,+)}$ è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo ${\displaystyle (S,+)}$ allora ${\displaystyle K(T,+)}$ è un sottogruppo del gruppo commutativo ${\displaystyle K(S,+)}$.

• Se ${\displaystyle (G,+)}$ è un gruppo commutativo allora ${\displaystyle K(G)}$ coincide con ${\displaystyle G}$; più precisamente, le mappe ${\displaystyle \phi (g)=[(g,0)]}$ e ${\displaystyle \psi ([(g,h)])=g-h}$ sono isomorfismi tra ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle K(G)}$

• Se ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora ${\displaystyle K(\mathbb {N} ,+)}$ è isomorfo al gruppo dei numeri interi ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$.

• Se ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{0},\times )}$ è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{0},\times )\cong (\mathbb {Q} _{0},\times )}$.

Voci correlate

• Campo dei quozienti

Collegamenti esterni

• (EN) Grothendieck Group, in PlanetMath.
• (EN) Gruppo di Grothendieck, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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