Distribuzione di Birnbaum-Saunders

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In teoria delle probabilità la distribuzione di Birnbaum-Saunders, noto anche come distribuzione della vita a fatica, è una distribuzione di probabilità continua[1], dipendente da due parametri[2], definita sui numeri reali positivi e utilizzata per descrivere probabilità di rottura di un sistema.

Venne descritta nel 1969 da Z.W. Birnbaum e Sam C. Saunders con due articoli nel Journal of Applied Probability (A new family of life distributions e Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue)[3].

funzione di densità di probabilità per alcuni valori di α, con β=1

La funzione di densità di probabilità è

f ( t | α , β ) = 1 2 π t / β + β / t 2 α t e − ( t / β − β / t ) 2 2 α 2 {\displaystyle f(t|\alpha ,\beta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {{\sqrt {t/\beta }}+{\sqrt {\beta /t}}}{2\alpha t}}e^{-{\frac {({\sqrt {t/\beta }}-{\sqrt {\beta /t}})^{2}}{2\alpha ^{2}}}}}

È legata alla variabile casuale normale standardizzata dalle seguenti relazioni:

Se Z~N(0;1) e

T = β [ α Z 2 + ( α Z 2 ) 2 + 1 ] 2 {\displaystyle T=\beta \left[{\frac {\alpha Z}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\alpha Z}{2}}\right)^{2}+1}}\,\right]^{2}}

allora T è una variabile casuale di Birnbaum-Saunders con parametri α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } .

Se T~BS(α , β) allora

Z = 1 α ( T β − β T ) {\displaystyle Z={\frac {1}{\alpha }}\left({\sqrt {\frac {T}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{T}}}\right)}

è distribuita come una normale standardizzata.

I momenti di ordine n sono dati da

m n = β ∑ j = 0 n ( 2 n 2 j ) ∑ i = 0 j ( j i ) ( 2 ( n − j + i ) ) ! 2 n − j + i ( n − j + i ) ! ( α 2 ) 2 ( n − j + i ) {\displaystyle m_{n}=\beta \sum _{j=0}^{n}{2n \choose 2j}\sum _{i=0}^{j}{j \choose i}{\frac {(2(n-j+i))!}{2^{n-j+i}(n-j+i)!}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2(n-j+i)}}

per cui valore atteso, e la mediana sono

μ = 1 2 β ( α 2 + 2 ) {\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\beta (\alpha ^{2}+2)}
mediana = β

la varianza e il coefficiente di variazione sono

σ 2 = 1 4 β 2 ( 5 α 4 + 4 α 2 ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{4}}\beta ^{2}(5\alpha ^{4}+4\alpha ^{2})}
c v = ( 5 α 4 + 4 α 2 ) 1 / 2 α 2 + 2 {\displaystyle cv={\frac {(5\alpha ^{4}+4\alpha ^{2})^{1/2}}{\alpha ^{2}+2}}}

mentre gli indici di simmetria e curtosi sono

44 α 3 + 24 α ( 5 α 2 + 4 ) 3 / 2 {\displaystyle {\frac {44\alpha ^{3}+24\alpha }{(5\alpha ^{2}+4)^{3/2}}}}
3 + 558 α 4 + 240 α 2 ( 5 α 2 + 4 ) 2 {\displaystyle 3+{\frac {558\alpha ^{4}+240\alpha ^{2}}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}}

dall'assenza di β da questi ultimi 3 indici si capisce perché il coefficiente β venga chiamato coefficiente di scala, infatti vale che se T~BS(α,β) allora

  • cT ~ BS(α , cβ), per valori positivi di c
  • 1/T ~ BS(α , 1/β)

La funzione cumulata F(x) è data da

F ( x ) = Φ ( 1 α ( x β − β x ) ) {\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left({\sqrt {\frac {x}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x}}}\right)\right)}

dove Φ ( ⋅ ) {\displaystyle \Phi (\cdot )} è la funzione cumulata di una Normale standardizzata N(0,1)

L'inversa della funzione cumulata x ( p ) = F − 1 ( p ) {\displaystyle x(p)=F^{-1}(p)} , utile per calcolare i quantili o generare numeri casuali, è data da

x ( p ) = β ( α z p 2 + ( α z p 2 ) 2 + 1 ) 2 {\displaystyle x(p)=\beta \left({\frac {\alpha z_{p}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\alpha z_{p}}{2}}\right)^{2}+1}}\right)^{2}} , per 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1}

dove z p {\displaystyle z_{p}} è il p-esimo percentile della N(0,1), così come si trova abitualmente tabulata.

Note

  1. ^ N. Johnson, S. Kotz e N. Balakrishnan, Distribuzioni univariate continue, New York, Wiley, 1995.
  2. ^ A. J. Lemonte, F. Cribari-Neto e K. L. P. Vasconcellos, Inferenza statistica migliorata per la distribuzione di Birnbaum-Saunders a due parametri, in Statistica computazionale e analisi dei dati, n. 51, 2007, pp. 4656–4681.
  3. ^ Z. W. Birnbaum e S. C. Saunders, A new family of life distributions, in Journal of Applied Probability, vol. 6, n. 2, pp. 319–327, DOI:10.2307/3212003.

Voci correlate

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