Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing

La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.

Definizione

Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:

${\displaystyle [Gf](x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).}$

L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:

${\displaystyle {\frac {\ln 2}{1+x}}.}$

Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:

${\displaystyle \lambda =0,30366300289...}$

Eduard Wirsing ha mostrato che, se ${\displaystyle F_{n}(x)}$ è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}(x)-\ln(1-x)}{(-\lambda )^{n}}}=\Psi (x),}$

dove ${\displaystyle \Psi (x)}$ è una funzione analitica tale che ${\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0}$.

Relazione con la funzione Zeta di Riemann

L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}$

questo implica che:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}dx\;x\left[Gx^{s-1}\right]}$

dopo un cambio di variabile.

Voci correlate

• Distribuzione Gauss-Kuzmin
• Operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing, su MathWorld, Wolfram Research.
• Tutte le cifre della costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (TXT), su pi.lacim.uqam.ca. URL consultato il 20 settembre 2005 (archiviato dall'url originale l'8 gennaio 2006).

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