Biforcazione imperfetta

In matematica, una biforcazione è detta imperfetta se il suo studio è riconducibile a quello di una biforcazione canonica a meno di un fattore di disturbo.

Un esempio è dato dall'equazione differenziale della biforcazione pitchfork cui viene aggiunta, come imperfezione, una costante ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=h+rx-x^{3}}$

Se ${\displaystyle h\neq 0}$ si perde la simmetria classica dei sistemi con biforcazioni a forcone. Per tale ragione ${\displaystyle h}$ è detto parametro di imperfezione.

Studio della funzione

L'equazione differenziale è di difficile studio analitico, poiché vi sono due diversi parametri che fanno variare il sistema (ossia ${\displaystyle r}$ ed ${\displaystyle h}$).

Per ovviare a tale problema si considerano vari grafici con ${\displaystyle r}$ fissato e si studia geometricamente il sistema al variare del parametro ${\displaystyle h}$. In particolare si cercano le intersezioni tra le curve ${\displaystyle y=rx-x^{3}}$ ed ${\displaystyle y=-h}$.

Caso ${\displaystyle r\leq 0}$

Quando ${\displaystyle r\leq 0}$ la cubica ${\displaystyle y=rx-x^{3}}$ è monotòna non crescente. La linea orizzontale ${\displaystyle y=-h}$ si interseca con la cubica esattamente in un punto per ogni valore di ${\displaystyle h}$.

Caso ${\displaystyle r>0}$

Quando ${\displaystyle r>0}$ la curva non è più monotòna, quindi al variare di ${\displaystyle h}$ vi sono una, due o tre intersezioni.

Poiché lo studio delle intersezioni è simmetrico rispetto ad ${\displaystyle h=0}$, studiamo i vari casi solo per ${\displaystyle -h\geq 0}$ (ovvero ${\displaystyle h\leq 0}$ ).

Vi sarà un valore critico del parametro, ${\displaystyle h_{c}}$, in cui la linea orizzontale ${\displaystyle y=-h}$ è esattamente la tangente alla curva ${\displaystyle y=rx-x^{3}}$. Tale valore sarà dato dal massimo (minimo nel lato simmetrico rispetto all'asse delle ascisse) relativo alla cubica.

Per ricavare il valore del massimo e quello di ${\displaystyle h_{c}}$ studiamo la derivata

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(rx-x^{3}\right)=r-3x^{2}}$

da cui, scegliendo il valore positivo:

${\displaystyle x_{\mathrm {max} }={\sqrt {\frac {r}{3}}}}$

e quindi:

${\displaystyle h_{c}\left(r\right)=rx_{\mathrm {max} }-3x_{\mathrm {max} }^{2}={\frac {2r}{3}}{\sqrt {\frac {r}{3}}}}$

Vediamo che succede diminuendo il parametro ${\displaystyle h}$:

• per ${\displaystyle \left|h\right|>h_{c}}$ si ha una sola intersezione che corrisponde ad un punto d'equilibrio stabile (la stabilità è facilmente ricavabile sia analiticamente sia geometricamente);

• per ${\displaystyle \left|h\right|=h_{c}}$ nasce un nuovo punto d'equilibrio semistabile (instabile a sinistra e stabile a destra) che si aggiunge al punto d'equilibrio stabile già presente;

• per ${\displaystyle \left|h\right|<h_{c}}$ vi sono, oltre al primo punto fisso stabile, due punti d'equilibrio distinti: uno più centrale rispetto alla simmetria della cubica instabile e l'altro stabile.

Ovviamente una situazione speculare la si verifica per ${\displaystyle h<0}$.

Per i valori critici ${\displaystyle h=h_{c}}$ ed ${\displaystyle h=-h_{c}}$ vi è l'improvvisa comparsa/scomparsa di due punti d'equilibrio, ovvero si ha, localmente, una biforcazione saddle-node.

Diagramma di biforcazione ${\displaystyle x}$ vs. ${\displaystyle r}$

Studiando la stabilità tramite diagramma di biforcazione si vede che, se ${\displaystyle h=0}$ si ha il diagramma solito della biforcazione pitchfork, mentre per ${\displaystyle h\neq 0}$ si ottengono due curve disgiunte:

• un ramo stabile definito per ogni ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$, che tende a ${\displaystyle \infty }$ per ${\displaystyle r\to +\infty }$ e a ${\displaystyle 0}$ per ${\displaystyle r\to -\infty }$;
• una curva definita per ${\displaystyle r\geq h_{c}}$ composta da un ramo stabile ed uno instabile che per ${\displaystyle r\to +\infty }$ tendono rispettivamente a ${\displaystyle \infty }$ (in segno opposto al ramo stabile precedente) e a ${\displaystyle 0}$.

Bibliografia

• Strogatz S.H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books, Cambridge).

Voci correlate

• Diagramma di biforcazione
• Biforcazione a nodo sella
• Teoria delle biforcazioni

V · D · M Teoria del caos
Teoria delle biforcazioni	Biforcazione a forcone · Biforcazione a nodo sella · Biforcazione imperfetta · Biforcazione transcritica · Biforcazione di Hopf · Larva del pino (sistema dinamico)
Frattali	Arte frattale · Buddhabrot · Burning ship · Compressione frattale · Curva di Koch · Curva di Peano · Curva di Sierpiński · Dimensione di Hausdorff · Dimensione frattale · Funzione di Cantor · Insieme di Cantor · Insieme di Julia · Insieme di Mandelbrot · Frattali per dimensione di Hausdorff · Polvere di Cantor · Sterling · Triangolo di Sierpiński · Dimensione di Minkowski-Bouligand
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