Relasi refleksif

Dalam matematika, relasi biner R {\displaystyle R} pada himpunan X dikatakan refleksif jika relasi R {\displaystyle R} menghubungkan setiap anggota dari X ke dirinya sendiri. Contoh terkait relasi refleksif adalah relasi "sama dengan" (=) pada himpunan bilangan real, sebab setiap bilangan real akan sama dengan dirinya sendiri. Relasi refleksif dikatakan mempunyai sifat refleksif atau dikatakan mempunyai refleksivitas. Refleksivitas merupakan salah satu dari tiga sifat yang mendefinisikan relasi ekuivalensi.[1][2]

Definisi

Misalkan R {\displaystyle R} menyatakan relasi biner pada himpunan X {\displaystyle X} , yang merupakan subhimpunan dari X × X {\displaystyle X\times X} . Untuk sebarang x {\displaystyle x} dan y {\displaystyle y} di himpunan X {\displaystyle X} , x R y {\displaystyle xRy} mengartikan bahwa pasangan terurut ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} merupakan pasangan dari relasi R {\displaystyle R} , yang diberi notasi ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} . Notasi untuk "bukan x R y {\displaystyle xRy} " berarti ( x , y ) ∉ R {\displaystyle (x,y)\notin R} . Relasi R {\displaystyle R} disebut refleksif jika x R x {\displaystyle xRx} untuk setiap x ∈ X {\displaystyle x\in X} . Dengan kata lain, relasi R {\displaystyle R} juga disebut refleksif jika I X ⊆ R {\displaystyle \mathbf {I} _{X}\subseteq R} , dengan I X {\displaystyle \mathbf {I} _{X}} menyatakan relasi identitas pada himpunan X {\displaystyle X} , yaitu I X := { ( x , x ) : x ∈ X } {\displaystyle \mathbf {I} _{X}:=\{(x,x)\colon x\in X\}} .[3]

Klosur relasi (relation closure) dari R {\displaystyle R} merupakan gabungan dari relasi dengan relasi identitas, yakni R ∪ I X {\displaystyle R\cup \mathbf {I} _{X}} , yang dapat didefinisikan sebagai relasi refleksif terkecil pada himpunan X {\displaystyle X} . Relasi R {\displaystyle R} dikatakan refleksif jika dan hanya jika ia sama dengan klosur refleksifnya.

Catatan

  1. ^ Levy (1979), hlm. 74..
  2. ^ Gunther (2011), hlm. 61..
  3. ^ Gunther (2011), hlm. 34.

Referensi

  • Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Vertag, ISBN 0-486-42079-5  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  • Gunther, Schmidt (2011), Relational Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7