Konjektur abc

Konjektur abc
CabangTeori bilangan
Pertama kali diduga oleh
Ekuivalen denganKonjektur Szpiro diperbaharui
Akibat
  • Konjektur Beal
  • Konjektur Fermat–Catalan
  • Masalah Erdős–Ulam
  • Teorema Faltings
  • Teorema Roth
  • Teorema terakhir Fermat
  • Teorema Tijdeman

Konjektur abc, atau dikenal juga sebagai konjektur Oesterlé–Masser, adalah konjektur dalam teori bilangan yang mengatakan tiga bilangan bulat positif a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , dan c {\displaystyle c} relatif prima sehingga memenuhi bahwa a + b = c {\displaystyle a+b=c} . Konjektur ini pada awalnya mengatakan bahwa hasil kali dari faktor bilangan prima a b c {\displaystyle abc} yang berbeda tidak terlalu lebih kecil dari c {\displaystyle c} . Konjektur abc dihasilkan dari diskusi Joseph Oesterlé dan David Masser di tahun 1985.[1][2] Seorang matematikawan bernama Dorian Goldfeld mengatakan bahwa konjektur abc merupakan "masalah terpenting yang belum terpecahkan dalam analisis Diophantus."[3]

Asal-usul konjektur abc berawal pada saat Oesterlé dan Masser mencoba memahami konjektur Szpiro tentang kurva eliptik,[4] yang melibatkan lebih banyak struktur geometris dalam pernyataannya dibandingkan dengan konjektur abc. Konjektur abc menunjukkan ekuivalen dengan konjektur Szpiro yang diperbaharui.[1]

Konjektur abc telah dibuktikan dengan berbagai cara. Akan tetapi, tidak ada satupun bukti yang diterima oleh para komunitas matematika. Hngga pada tahun 2020, knjektur tersebut masih dianggap belum terpecahkan.[5]

Perumusan

Jika a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , dan c {\displaystyle c} adalah bilangan bulat positif koprima sehingga a + b = c {\displaystyle a+b=c} , maka "biasanya" c < rad ⁡ ( a b c ) {\displaystyle c<\operatorname {rad} (abc)} . Konjektur abc berkenaan dengan pengecualian, atau lebih khususnya mengatakan:

Untuk setiap bilangan real positif ϵ {\displaystyle \epsilon } , maka hanya terdapat terhingga banyaknya rangkap tiga ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} dari bilangan bulat positif koprima, dengan a + b = c {\displaystyle a+b=c} sehingga c > rad ⁡ ( a b c ) 1 + ϵ . {\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }.} [6]

Disini, rad {\displaystyle \operatorname {rad} } berarti radikal bilangan bulat. Perumusan ekuivalennya adalah: untuk setiap bilangan real positif ϵ {\displaystyle \epsilon } , terdapat sebuah konstan K ϵ {\displaystyle K_{\epsilon }} sehingga untuk semua rangkap tiga ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} dari bilangan bulat positif koprima, dengan a + b = c {\displaystyle a+b=c} , maka c < K ε ⋅ rad ⁡ ( a b c ) 1 + ε . {\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.} [6]

Referensi

  1. ^ a b Oesterlé 1988.
  2. ^ Masser 1985.
  3. ^ Goldfeld 1996.
  4. ^ Fesenko, Ivan (September 2015). "Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta-functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki". European Journal of Mathematics. 1 (3): 405–440. doi:10.1007/s40879-015-0066-0 alt=Dapat diakses gratis. 
  5. ^ Castelvecchi, Davide (9 April 2020). "Mathematical proof that rocked number theory will be published". Nature. 580 (7802): 177. Bibcode:2020Natur.580..177C. doi:10.1038/d41586-020-00998-2 alt=Dapat diakses gratis. PMID 32246118. 
  6. ^ a b Waldschmidt 2015.

Sumber

  • Goldfeld, Dorian (1996). "Beyond the last theorem". Math Horizons. 4 (September): 26–34. doi:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079. 
  • Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179, MR 0992208 
  • Waldschmidt, Michel (2015). "Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences" (PDF). Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 98. hlm. 211–230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.