Muirhead-egyenlőtlenség

A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.

Az „a-közép”

Bármely valós vektor esetén

${\displaystyle a=\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$

az x₁,…,x_n számok „a-közepe” [a] a következő:

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\pi _{n}}^{a_{n}},}$

ahol az összeg az {1,…,n} számok minden π permutációjára kiterjed.

Az egyenlőtlenség

Két n dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dots \geq a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \dots \geq b_{n}.}$

Minden x₁,…,x_n nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:

${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}}$

${\displaystyle \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots }$

${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n-1}\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}}$

${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=b_{1}+\cdots +b_{n}.}$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség származtatása

Legyen a két vektor, a és b, a következő:

${\displaystyle a=\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$

${\displaystyle b=\left(1,0,0,\dots ,0\right).}$

A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen

${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}}$

${\displaystyle \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots }$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}\leq b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n-1}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n}.}$

Ekkor tetszőleges x₁,…,x_n nemnegatív számok esetén

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{\frac {1}{n}}\cdots x_{\pi _{n}}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

és

${\displaystyle [b]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{1}x_{\pi _{2}}^{0}\cdots x_{\pi _{n}}^{0}={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right),}$

hiszen minden x_i-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-sal, így minden számot ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$-szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right).}$

További információk

• Combinatorial Theory by John N. Guidi, based on lectures given by Gian-Carlo Rota in 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
• Kiran Kedlaya's guide to solving inequalities at [1].
• Simple explanation with examples
• Reference on PlanetMath (Muirhead's theorem) Archiválva 2007. november 23-i dátummal a Wayback Machine-ben