Laplace-transzformáció

A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

Definíció

Legyen f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle F(s)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t}

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.[1]

Ha a transzformált létezik és véges, akkor f ( t ) {\displaystyle f(t)} -t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése: L [ f ] = F {\displaystyle L[f]=F}

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha f ( t ) {\displaystyle f(t)} a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan M > 0 {\displaystyle M>0} és s 0 {\displaystyle s_{0}} valós szám, hogy az f ( t ) ≤ M e s 0 t {\displaystyle f(t)\leq Me^{s_{0}t}} egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } szám esetén, amire R e ( s ) ≥ s 0 {\displaystyle {\mathfrak {Re}}(s)\geq s_{0}} .[2]

Tulajdonságai

Linearitás

A Laplace-transzformáció lineáris, azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege, valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz. Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át. Röviden: L [ α f + β g ] = α L [ f ] + β L [ g ] {\displaystyle L[\alpha f+\beta g]=\alpha L[f]+\beta L[g]}

Bizonyítás: L [ α f + β g ] = ∫ 0 ∞ ( α f ( t ) + β g ( t ) ) e − s t d t = ∫ 0 ∞ α f ( t ) e − s t + β g ( t ) e − s t d t = {\displaystyle L[\alpha f+\beta g]=\int \limits _{0}^{\infty }(\alpha f(t)+\beta g(t))e^{-st}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }\alpha f(t)e^{-st}+\beta g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=}

= ∫ 0 ∞ α f ( t ) e − s t d t + ∫ 0 ∞ β g ( t ) e − s t d t = α ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t + β ∫ 0 ∞ g ( t ) e − s t d t = α L [ f ] + β L [ g ] {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\alpha f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{\infty }\beta g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\alpha \int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+\beta \int \limits _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\alpha L[f]+\beta L[g]}

Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye.

A generátorfüggvény deriváltja

L [ f ′ ] = s L [ f ] − f ( 0 ) {\displaystyle L[f']=sL[f]-f(0)}

Bizonyítás: L [ f ′ ] = ∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = {\displaystyle L[f']=\int \limits _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}\mathrm {d} t=}

= [ f ( t ) e − s t ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ f ( t ) ( − s ) e − s t d t = {\displaystyle =\left[f(t)e^{-st}\right]_{0}^{\infty }-\int \limits _{0}^{\infty }f(t)(-s)e^{-st}\mathrm {d} t=}
= − f ( 0 ) + s ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t = s L [ f ] − f ( 0 ) {\displaystyle =-f(0)+s\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t=sL[f]-f(0)}

Ennek akkor van jelentősége, ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk.

A második derivált hasonlóan határozható meg, illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is. A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog a 0-ban felvett értékkel, valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai.

L [ f ( n ) ] = s n F ( s ) − ∑ k = 1 n s n − k f ( k − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle L[f^{(n)}]=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0)}

Ez teszi lehetővé, hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg.

Konvolúció transzformáltja

Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet:

( f ∗ g ) ( t ) = ∫ 0 t f ( x ) g ( t − x ) d x {\displaystyle \left(f*g\right)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(x)g(t-x)\mathrm {d} x}

A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata:

L [ f ∗ g ] = L [ f ] ⋅ L [ g ] {\displaystyle L[f*g]=L[f]\cdot L[g]}

Bizonyítás: L [ f ∗ g ] = ∫ 0 ∞ f ∗ g ⋅ e − s t d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 t f ( x ) g ( t − x ) d x ) e − s t d t = {\displaystyle L[f*g]=\int \limits _{0}^{\infty }f*g\cdot e^{-st}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }\left(\int \limits _{0}^{t}f(x)g(t-x)\mathrm {d} x\right)e^{-st}\mathrm {d} t=} , és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk

= ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ f ( x ) e − s x g ( t − x ) e − s ( t − x ) d x ) d t = {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}g(t-x)e^{-s(t-x)}\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} t=} , itt pedig új változót vezetünk be, mégpedig a t − x = x ′ {\displaystyle t-x=x'} helyettesítéssel, így d x ′ = d t {\displaystyle \mathrm {d} x'=\mathrm {d} t} lesz
= ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ f ( x ) e − s x g ( x ′ ) e − s x ′ d x ) d x ′ = {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}g(x')e^{-sx'}\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} x'=} , az integrandusok pedig szétválaszthatóak, így kapjuk:
= ( ∫ 0 ∞ f ( x ) e − s x d x ) ⋅ ( ∫ 0 ∞ g ( x ′ ) e − s x ′ d x ′ ) = {\displaystyle =\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}\mathrm {d} x\right)\cdot \left(\int \limits _{0}^{\infty }g(x')e^{-sx'}\mathrm {d} x'\right)=}
= L [ f ] ⋅ L [ g ] {\displaystyle =L[f]\cdot L[g]}

Csillapítási tétel

Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel, akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik:

L [ e − λ t f ( t ) ] = F ( s + λ ) {\displaystyle L[e^{-\lambda t}f(t)]=F(s+\lambda )}

Bizonyítás: L [ e − λ t f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ e − λ t f ( t ) e − s t d t = {\displaystyle L[e^{-\lambda t}f(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t=}

= ∫ 0 ∞ f ( t ) e − ( s + λ ) t d t = F ( s + λ ) {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s+\lambda )t}\mathrm {d} t=F(s+\lambda )}

Hasonlósági tétel

L [ 1 x f ( t x ) ] = F ( s x ) {\displaystyle L\left[{\frac {1}{x}}f\left({\frac {t}{x}}\right)\right]=F(sx)}

Bizonyítás: L [ 1 x f ( t x ) ] = ∫ 0 ∞ 1 x f ( t x ) e − s t d t = {\displaystyle L\left[{\frac {1}{x}}f\left({\frac {t}{x}}\right)\right]=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}f\left({\frac {t}{x}}\right)e^{-st}\mathrm {d} t=} , és itt helyettesítsünk: t ′ = t x {\displaystyle t'={\frac {t}{x}}} , aminek eredményeképpen d t = x d t ′ {\displaystyle \mathrm {d} t=x\mathrm {d} t'} , így

= ∫ 0 ∞ f ( t ′ ) e − s x t ′ d t ′ = F ( s x ) {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f\left(t'\right)e^{-sxt'}\mathrm {d} t'=F(sx)}

E két utóbbi tétel lehetővé teszi, hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni. Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges, ugyanis ritkán áll rendelkezésre a t = 0 {\displaystyle t=0} eset, amit egyszerűen meg tudunk oldani.

Alkalmazások

A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása, de használható sorozatok összegének kiszámítására, a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is.

Differenciálegyenletek

A megoldás azon alapul, hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén, így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk, amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk. A megoldás szempontjából lényeges, hogy ismernünk kell a peremfeltételeket, ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek.

Példafeladat

Oldjuk meg a

2 f ″ − 2 f ′ − 12 f = 1 , f ( 0 ) = 0 , f ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle 2f''-2f'-12f=1,\,f(0)=0,\,f'(0)=0}

kezdetiérték-problémát!

Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet, a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját, az egyenlőség érvényes marad. Az egyenlet alakja ekkor

2 ( s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) ) − 2 ( s F ( s ) − f ( 0 ) ) − 12 F ( s ) = 1 s {\displaystyle 2(s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0))-2(sF(s)-f(0))-12F(s)={\frac {1}{s}}} .

Átalakítva, és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

2 s 2 F ( s ) − 2 s F ( s ) − 12 F ( s ) = 1 s {\displaystyle 2s^{2}F(s)-2sF(s)-12F(s)={\frac {1}{s}}} ,

ami algebrai úton F ( s ) {\displaystyle F(s)} -re rendezhető:

F ( s ) = 1 2 s ( s 2 − s − 6 ) {\displaystyle F(s)={\frac {1}{2s(s^{2}-s-6)}}} .

Ezt résztörtekre bonthatjuk, így az alábbi kifejezést kapjuk:

F ( s ) = 1 2 ( 1 6 s + 1 30 ( s + 2 ) − 1 5 ( s − 3 ) ) {\displaystyle F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6s}}+{\frac {1}{30(s+2)}}-{\frac {1}{5(s-3)}}\right)} ,

aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani. Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása

f ( t ) = 1 2 ( 1 6 + 1 30 e − 2 t − 1 5 e 3 t ) {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{30}}e^{-2t}-{\frac {1}{5}}e^{3t}\right)} .

Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani, egyszerű algebrai átalakítások révén. Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág.

Sorozatösszeg

Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük, akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz, aminek összegét egyszerű meghatározni. Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét.[1]

Legyen S = ∑ a n {\displaystyle S=\sum a_{n}} . A sorozatot felfoghatjuk úgy, mint egy F ( s ) {\displaystyle F(s)} függvény természetes számokra való leszűkítését. Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is, és az integrálkifejezést összegezzük. Ha a sor egyenletesen konvergens, akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető. Az integrandus egy mértani sorozat lesz, ami egyszerűen összegezhető, majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni:

S = ∑ a n = ∑ F ( n ) = ∑ ∫ 0 ∞ f ( t ) e − n t d t = {\displaystyle S=\sum a_{n}=\sum F(n)=\sum \int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-nt}\mathrm {d} t=}
= ∫ 0 ∞ ∑ f ( t ) e − n t d t = ∫ 0 ∞ f ( t ) ∑ ( e − t ) n d t = {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\sum f(t)e^{-nt}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sum \left(e^{-t}\right)^{n}\mathrm {d} t=} .
= ∫ 0 ∞ f ( t ) e − t 1 − e − t d t {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t){\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t}

Példafeladat

Számítsuk ki a

S = ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}

összeget![3]

Tételezzük fel, hogy ezt egy Laplace-transzformált. Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre:

S = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) {\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)} .

Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik, akár táblázatból való visszakereséssel is:

f ( t ) = 1 − e − t {\displaystyle f(t)=1-e^{-t}} .

Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható. Először felírjuk a transzformálás definícióját:

S = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ ( 1 − e − t ) e − n t d t = {\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right)e^{-nt}\mathrm {d} t=} ,

majd felcseréljük az összegzést és az integrálást. Itt rögtön észre lehet venni, hogy n {\displaystyle n} -re összegzünk, ezért a zárójelben írt tag, azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé:

= ∫ 0 ∞ ( 1 − e − t ) ∑ n = 1 ∞ e − n t d t = {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right)\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}\mathrm {d} t=}
= ∫ 0 ∞ ( 1 − e − t ) e − t 1 − e − t d t = ∫ 0 ∞ e − t d t = 1 {\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right){\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\mathrm {d} t=1}

A sor összege tehát 1. Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk.

Fourier-transzformációs együtthatók kiszámítása

Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is. Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni, hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú:

f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ c k e i k x {\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}e^{ikx}} .

Az összegben a c k {\displaystyle c_{k}} együtthatókat a következő formula adja meg:

c k = ω 2 π ∫ 0 T f ( t ) e − i k ω t d t {\displaystyle c_{k}={\frac {\omega }{2\pi }}\int \limits _{0}^{T}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm {d} t} .

Ha a függvényt a [ 0 , T ] {\displaystyle [0,T]} intervallumon kívül nullának tekintjük, akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is. Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat, amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk:

a 0 = c 0 {\displaystyle a_{0}=c_{0}}
a k = 2 ⋅ R e ( c k ) {\displaystyle a_{k}=2\cdot {\mathfrak {Re}}(c_{k})}
b k = 2 ⋅ I m ( c k ) {\displaystyle b_{k}=2\cdot {\mathfrak {Im}}(c_{k})} .

Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni. Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek, egy táblázatból ki lehet őket olvasni, egyedül az s = i k ω {\displaystyle s=ik\omega } helyettesítést kell elvégeznünk.

Példafeladat

Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit!

A jel alakja

f ( t ) = c T t {\displaystyle f(t)={\frac {c}{T}}t} a ( 0 , T ] {\displaystyle \left(0,T\right]} intervallumon, ami egyben egy periódusa is a függvénynek.

Szorozzuk meg a függvényt a 1 ( t ) − 1 ( t − T ) {\displaystyle 1(t)-1(t-T)} tényezővel. Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában, hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen. Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik:

f T ( t ) = 1 ( t ) c T t − 1 ( t − T ) c T t {\displaystyle f_{T}(t)=1(t){\frac {c}{T}}t-1(t-T){\frac {c}{T}}t} , ahol f T {\displaystyle f_{T}} az f {\displaystyle f} függvény leszűkítése a periódusra. Ennek transzformáltja
F T ( s ) = 1 s 2 − e − T s 1 s 2 = 1 − e − T s s 2 {\displaystyle F_{T}(s)={\frac {1}{s^{2}}}-e^{-Ts}{\frac {1}{s^{2}}}={\frac {1-e^{-Ts}}{s^{2}}}}

Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja. Ahhoz, hogy azokat megkapjuk, a transzformáltban a változót helyettesítjük:

c k = F ( i k ω ) = e − T i k ω − 1 k 2 ω 2 {\displaystyle c_{k}=F(ik\omega )={\frac {e^{-Tik\omega }-1}{k^{2}\omega ^{2}}}}

Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása ( k = 0 {\displaystyle k=0} ), ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni, így adódik:

c 0 = e − i T ω − 1 ω 2 {\displaystyle c_{0}={\frac {e^{-iT\omega }-1}{\omega ^{2}}}}

Néhány függvény transzformáltja

f ( t ) {\displaystyle f(t)} F ( s ) {\displaystyle F(s)}
t n , n ∈ N {\displaystyle t^{n},n\in \mathbb {N} } n ! s n + 1 {\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}
e p t {\displaystyle e^{pt}} 1 s − p {\displaystyle {\frac {1}{s-p}}}
ln ⁡ t {\displaystyle \ln t} C + ln ⁡ t 2 {\displaystyle {\frac {C+\ln t}{2}}}
sin ⁡ n t {\displaystyle \sin nt} n s 2 + n 2 {\displaystyle {\frac {n}{s^{2}+n^{2}}}}
cos ⁡ n t {\displaystyle \cos nt} s s 2 + n 2 {\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+n^{2}}}}
s h n t {\displaystyle \mathrm {sh} \,nt} n s 2 − n 2 {\displaystyle {\frac {n}{s^{2}-n^{2}}}}
c h n t {\displaystyle \mathrm {ch} \,nt} s s 2 − n 2 {\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-n^{2}}}}

Jegyzetek

  1. ↑ a b Hanka László, Zalay Miklós. Komplex függvénytan (2003. május 26.) 
  2. ↑ A Laplace-transzformált
  3. ↑ Természetesen ezt a sort (és még jópár másikat is) ki lehet számolni más módszerekkel is. Csak azért ezzel mutatjuk be, mert egyszerűen kezelhető, és könnyen ellenőrizhető az eredménye.

Kapcsolódó oldalak