Konvolúció

A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.

A ${\displaystyle ({-\infty },\infty )}$ intervallumon értelmezett ${\displaystyle f,g}$ integrálható függvények konvolúcióján az ${\displaystyle f*g:x\mapsto \int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)dt}$ integrállal definiált függvényt értik.

A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.

A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:

${\displaystyle (u*v)(\phi )=\lim _{k\rightarrow \infty }[(y,z)\mapsto \rho _{k}(y,z)\phi (y+z)].}$

A függvénykonvolúció tulajdonságai

A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és ${\displaystyle \int {f*g}\leqslant (\int f)(\int g).}$

Jelölje ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ a Fourier-transzformációt:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}f{\mathcal {F}}g.}$

A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy

• a ${\displaystyle \mu }$ és a ${\displaystyle \lambda }$ paraméterű független Poisson-eloszlások összege ${\displaystyle \mu +\lambda }$ paraméterű Poisson-eloszlás,
• a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz ${\displaystyle m_{1}+m_{2}}$ várható értékkel és ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ szórásnégyzettel.
• ${\displaystyle n}$ darab független ${\displaystyle \lambda }$ paraméterű exponenciális eloszlás összege ${\displaystyle n}$-edrendű, ${\displaystyle \lambda }$ paraméterű gammaeloszlás:

${\displaystyle h_{n}={\frac {\lambda ^{n}z^{n-1}e^{-\lambda z}}{(n-1)!}}.}$

Diszkrét konvolúció

A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{k\in D}f(k)g(n-k)}$

ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén ${\displaystyle f}$-et és ${\displaystyle g}$-t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.

Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.

A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.

A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai

A disztribúciók definíciója

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

1. Van ${\displaystyle K}$ része ${\displaystyle \Omega }$, supp ${\displaystyle \phi _{j}}$, supp ${\displaystyle \phi }$ része ${\displaystyle K}$
2. Tetszőleges ${\displaystyle \alpha }$ indexvektor esetén ${\displaystyle \partial ^{\alpha }\phi _{j}\to \partial ^{\alpha }\phi }$ egyenletesen ${\displaystyle \Omega }$-n.

Tulajdonságok

• Két disztribúció nem mindig konvolválható.
• A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
• Ha az ${\displaystyle u}$ és a ${\displaystyle v}$ disztribúciók konvolválhatók, akkor ${\displaystyle u*v}$ tartója része ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ tartójának Minkowski-összegének.

A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:

• Ha az ${\displaystyle u}$ és a ${\displaystyle v}$ disztribúciók konvolválhatók, akkor ${\displaystyle u*v}$ bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.

Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez

• Legyenek ${\displaystyle f,g}$ lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: ${\displaystyle v=\int _{\Omega }f\phi }$, és ${\displaystyle u=\int _{\Omega }g\phi ,}$ ahol ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ értelmezési tartománya.

Ekkor ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ konvolválható.

• Ha ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ egyike kompakt tartójú, akkor ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ konvolválható, és ${\displaystyle (u*v)(\phi )=[(y,z)\mapsto \rho (z)\phi (y+z)],}$

ahol ${\displaystyle \rho (z)}$ akárhányszor differenciálható, és ${\displaystyle \rho (z)=1}$ a kompakt tartó egy környezetében.

• Legyenek ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ disztribúciók. Legyen az ${\displaystyle u}$ tartója egy ${\displaystyle H}$ féltér része, és legyen ${\displaystyle v}$ tartója egy olyan ${\displaystyle K}$ valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos ${\displaystyle H}$ normálisával. Ekkor ${\displaystyle (u*v)(\phi )=(u\times v)[(y,z)\mapsto \psi (y)\rho (z)\phi (y,z)],}$

ahol

• • ${\displaystyle \psi ,\rho }$ akárhányszor differenciálható,
  • ${\displaystyle \psi (y)=1}$ ${\displaystyle K}$ egy környezetében, és ${\displaystyle \psi (y)=0}$ egy nagyobb ${\displaystyle H}$-eltolt féltérben
  • ${\displaystyle \rho (z)=1}$ egy nagyobb ${\displaystyle K}$-eltolt kúpban, és ${\displaystyle \rho (z)=0}$ egy még nagyobb ${\displaystyle K}$-eltolt kúpon kívül

Források

• Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
• Gonda János: Véges testek
• Mogyoródi–Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak
• Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás
• Pál Lénárd: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I–II.
• Bourbaki: Integration
• Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.

További információk

• 2D konvolúciós kernelek (maszkok) gyűjteménye^{[halott link]}
• A konvolúcióról
• Még néhány szó a konvolúcióról (magyar)
• Interaktív animáció egy csökkenő exponenciális és egy Gauss-görbe konvolúciójáról. Gyakorlati példa: pozitronok élettartamspektruma.