Kontinuitási egyenlet

 Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A kontinuitási egyenlet minden alábbi példája ugyanazt a gondolatot fejezi ki. A kontinuitási egyenletek a megmaradási törvények (erősebb) lokális kifejezései.

Elektromágneses elmélet

Az elektrodinamikában a kontinuitási egyenlet két Maxwell-egyenletből vezethető le. Azt fejezi ki, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változási sebességének mínusz egyszeresével:

∇ ⋅ j = − ∂ ρ ∂ t {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \rho \over \partial t}}

Származtatás

Az egyik Maxwell-egyenlet szerint:

∇ × H = j + ∂ D ∂ t . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}.}

Mindkét oldal divergenciáját véve:

∇ ⋅ ∇ × H = ∇ ⋅ j + ∂ ∇ ⋅ D ∂ t {\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}} ,

de egy rotáció divergenciája nulla:

∇ ⋅ j + ∂ ∇ ⋅ D ∂ t = 0. ( 1 ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}=0.\qquad \qquad (1)}

Egy másik Maxwell-egyenlet szerint:

∇ ⋅ D = ρ . {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .\,}

Helyettesítsük ezt be az (1) egyenletbe:

∇ ⋅ j + ∂ ρ ∂ t = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0,\,}

ami a kontinuitási egyenlet.

Interpretáció

Az áramsűrűség a töltéssűrűség áramlása vagy az áram(erősség) sűrűsége. A kontinuitási egyenlet szerint ha töltés távozik egy infinitezimális térfogatból (azaz az áramsűrűség divergenciája pozitív), akkor a töltés mennyisége a térfogatban csökken. Ezért a kontinuitási egyenlet az elektromos töltésmegmaradás kifejezése.

Áramlástan

Az áramlástanban a kontinuitási egyenlet a tömegmegmaradás kifejezése. Differenciális alakban:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}

ahol ρ {\displaystyle \rho } a sűrűség, t az idő, és u a folyadéksebesség.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a valószínűség megmaradása szintén 'kontinuitási egyenlethez vezet. Legyen P(x, t) a valószínűségsűrűség, amivel:

∇ ⋅ j = − ∂ ∂ t P ( x , t ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \over \partial t}P(x,t)}

ahol j a valószínűségi áram.

Kapcsolódó szócikkek