Jordan-féle normálforma

A lineáris algebrában minden ${\displaystyle F}$ algebrailag zárt test feletti négyzetes ${\displaystyle A}$ mátrix (ahol a mátrix sajátértékei ${\displaystyle F}$ test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátló felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Jordan-mátrix

Egy ${\displaystyle F}$ test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem ${\displaystyle \lambda \in F}$ , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0. ${\displaystyle \lambda }$ a Jordan-blokk sajátértéke.

${\displaystyle J_{\lambda ,n}={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}}$

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},n_{1}}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{\lambda _{i},n_{i}}\end{bmatrix}}}$

A ${\displaystyle J}$ mátrix ${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}},J_{\lambda _{2},n_{2}},...,J_{\lambda _{i},n_{i}}}$ Jordan blokkok direkt szorzata.

Jelölése: ${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},n_{2}}\oplus ...\oplus J_{\lambda _{i},n_{i}}}$ vagy ${\displaystyle {\mbox{diag}}\left(J_{\lambda _{1},n_{1}},J_{\lambda _{2},n_{2}},...,J_{\lambda _{i},n_{i}}\right)}$ egy olyan ${\displaystyle (n_{1}+n_{2}+...+n_{i})}$×${\displaystyle (n_{1}+n_{2}+...+n_{i})}$-s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje ${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}}$ , második tömbje ${\displaystyle J_{\lambda _{2},n_{2}}}$ , ... , i-edik tömbje ${\displaystyle J_{\lambda _{i},n_{i}}}$ .

Például a következő 9×9-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:

${\displaystyle J=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&3&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&3&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&3&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&5\end{matrix}}\right)}$

Jelölése: ${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{3,2}\oplus J_{3,2}\oplus J_{5,2}}$ vagy ${\displaystyle {\mbox{diag}}\left(J_{0,3},J_{3,2},J_{3,2},J_{5,2}\right)}$.

Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságai

Bármely ${\displaystyle F}$ test elemeiből képzett n×n-es ${\displaystyle A}$ mátrix hasonló egy ${\displaystyle F}$ test feletti n×n-es ${\displaystyle J}$ Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik ${\displaystyle P}$ invertálható mátrix, melyre ${\displaystyle P^{-1}AP=J}$ . ${\displaystyle J}$-t az ${\displaystyle A}$ mátrix Jordan-normálformájának nevezzük.

A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

• ${\displaystyle A}$ sajátértékei a ${\displaystyle J}$ mátrix főátlójában álló elemek.
• Egy adott ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sajátérték geometriai multiplicitása Ker(${\displaystyle A-\lambda _{i}I}$) dimenziója (ahol ${\displaystyle I}$ egységmátrix), és ennyi a ${\displaystyle \lambda _{i}}$-hez tartozó Jordan-blokkok száma.
• Egy adott ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege ${\displaystyle \lambda _{i}}$ algebrai multiplicitása.
• ${\displaystyle A}$ akkor és csak akkor diagonalizálható, ha bármely ${\displaystyle \lambda }$ sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy ${\displaystyle A}$ mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegendő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy ${\displaystyle \lambda }$ sajátértékhez tartozó ${\displaystyle m(\lambda )}$ algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését ${\displaystyle (A-\lambda )^{m(\lambda )}}$ hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es ${\displaystyle A}$ mátrixnak egyetlen sajátértéke ${\displaystyle \lambda }$. Tehát ${\displaystyle m(\lambda )=N}$. A legkisebb ${\displaystyle k_{1}}$ egész, melyre

${\displaystyle (A-\lambda )^{k_{1}}=0}$

a legnagyobb Jordan-blokk mérete ${\displaystyle A}$ Jordan-normálformájában.

${\displaystyle (A-\lambda )^{k_{1}-1}}$

rangja a ${\displaystyle k_{1}}$ méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

${\displaystyle (A-\lambda )^{k_{1}-2}}$

rangja a ${\displaystyle k_{1}}$ méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a ${\displaystyle k_{1}-1}$ méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk ${\displaystyle A}$ Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el.

Ezt felhasználva belátható, hogy ha ${\displaystyle J_{1}}$ és ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle A}$ mátrix Jordan-normálformái, akkor ${\displaystyle J_{1}}$ és ${\displaystyle J_{2}}$ hasonló.

Hatványozás

Ha ${\displaystyle k}$ egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának ${\displaystyle k}$-adik hatványa a következő:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{k}&{\tbinom {k}{1}}\lambda _{1}^{k-1}&{\tbinom {k}{2}}\lambda _{1}^{k-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{k}&{\tbinom {k}{1}}\lambda _{1}^{k-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{k}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{k}&{\tbinom {k}{1}}\lambda _{2}^{k-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{k}\end{bmatrix}}}$

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában ${\displaystyle \lambda _{i}^{k}}$, a főátló felett ${\displaystyle {\tbinom {k}{1}}\lambda _{i}^{k-1}}$, ... , végül ${\displaystyle {\tbinom {k}{l}}\lambda _{i}^{k-l}}$ szerepel, ha ${\displaystyle J_{i}}$ a ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb.

(Megjegyzés: ${\displaystyle {\tbinom {k}{l}}=0}$, ha ${\displaystyle k<l}$.)

Például: ${\displaystyle (J_{3,3}\oplus J_{2,5}\oplus J_{6,2}\oplus )^{3}}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}3&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&3&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&2&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&2&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&2&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&2&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&2&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&6&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&6\end{matrix}}\right)^{3}=\left({\begin{matrix}27&27&9&0&0&0&0&0&0&0\\0&27&27&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&27&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&12&6&1&0&0&0\\0&0&0&0&8&12&6&1&0&0\\0&0&0&0&0&8&12&6&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&12&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&216&108\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&216\end{matrix}}\right)}$

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámítására

Legyen

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A}$ mátrix karakterisztikus polinomja:

${\displaystyle \det(\lambda I-A)=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}\,}$

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az ${\displaystyle Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}}$ egyenlet megoldásával kiszámíthatóak:

${\displaystyle v_{1}=p{\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\quad v_{2}=q{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\1\end{bmatrix}}\quad v_{3},v_{4}=t{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\quad }$

Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

${\displaystyle J=J_{1,1}\oplus J_{1,2}\oplus J_{2,4}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}}$

A ${\displaystyle P}$ áttérési mátrix (melyre ${\displaystyle J=P^{-1}AP}$) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve ${\displaystyle v_{3}}$-nál s=1, t=0, ${\displaystyle v_{4}}$-nél s=0, t=1 választással):

${\displaystyle P={\Big [}\,v_{1}\,{\Big |}\,v_{2}\,{\Big |}\,v_{3}\,{\Big |}\,v_{4}\,{\Big ]}={\begin{bmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}.}$

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}}$

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a ${\displaystyle v_{1}}$ , ${\displaystyle v_{2}}$ , ${\displaystyle (v_{3},v_{4})}$ sorrendet (${\displaystyle v_{3}}$ és ${\displaystyle v_{4}}$ egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

Források

• Összefoglaló a Jordan-mátrixokról (angolul)
• Jordan-féle normálforma (angolul)

Kapcsolódó szócikkek

• Mátrix logaritmusa

További információk

• Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek I. (digitális tankönyv)
• Bevezetés a mátrixalgebrába (angolul)
• Mátrixalgebra
• Jordan-féle normálforma rövid összefoglalója (angolul)