Funktorkategória

A funktorkategória kategóriaelméleti fogalom. Ha C és D kategóriák, akkor a ${\displaystyle D^{C}}$ funktorkategória objektumai a ${\displaystyle C\to D}$ funktorok, morfizmusai az ezek közti természetes transzformációk.

A funktorkategóriák a következő két okból játszanak fontos szerepet:

• Számos a gyakorlatban előforduló kategória funktorkategória, így a funktorkategóriákra vonatkozó állítások az alkalmazásokban széles körben felhasználhatók.
• Bármely kategória beágyazható egy funktorkategóriába a Yoneda-beágyazáson át.

Példák

• Egy G csoport megfeleltethető egy olyan kategóriának, aminek egyetlen okbejtuma van, morfizmusai pedig G elemei; speciálisan minden morfizmus invertálható. Egy G általi csoporthatással ellátott halmazt G-halmaznak nevezünk. A G-halmazok kategóriát alkotnak, és ez a kategória pontosan a ${\displaystyle \mathrm {Set} ^{G}}$ funktorkategória, ahol ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ jelöli a halmazok kategóriáját.
• Hasonlóan, ha k egy test, akkor a G csoport k-lineáris reprezentációinak kategóriája megegyezik a ${\displaystyle k{\textrm {-Vct}}^{G}}$ funktorkategóriával, ahol ${\displaystyle k{\textrm {-Vct}}}$ a k-vektorterek kategóriája.
• Egy irányított gráf áll csúcsok illetve nyilak egy-egy halmazából, valamint két függvényből a nyilak halmazából a csúcsok halmazába, amik egy nyílhoz a kiinduló- illetve végpontját rendelik. Legyen C a ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$ kategória, azaz az a kategória, aminek két objektuma van, és köztük két párhuzamos nyíl megy. Ekkor az irányított gráfok kategóriája megegyezik a ${\displaystyle \mathrm {Set} ^{C}}$ funktorkategóriával.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Functor category című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer (1998. szeptember 1.). ISBN 0-387-98403-8