Bohr-egyenlet

A Bohr-egyenlet (kiejtése [ˈb̥oɐ̯ˀ]) a tüdő élettani holtterét adja meg a légzési térfogat, valamint a CO₂ artériás és kilégzési parciális nyomása ismeretében. A kilégzés végi parciális nyomás ismeretében az alveoláris holttér külön is megadható. Az egyenletet Christian Bohr dán orvosról nevezték el.

Az egyenlet

Az egyenlet klasszikus formájában az élettani holtteret a légzési térfogat arányában adja meg a következőképpen:

${\frac {\mathbf {V} _{\mathrm {d} }}{\mathbf {V} _{\mathrm {t} }}}={\frac {{\mathrm {P} _{\mathrm {a} }}-{\mathrm {P} _{\mathrm {e} }}}{\mathrm {P} _{\mathrm {a} }}}$

(1)

Ahol:

$V_{d}$ az élettani holttérfogat (physiological dead volume)
$V_{t}$ a légzési térfogat (tidal volume)
$P_{a}$ a CO₂ arteriális parciális nyomása (arterial partial pressure)
$P_{e}$ a CO₂ parciális nyomása a kilégzett levegőben (expired partial pressure)

Levezetés

A légzési térfogat egyenlő az alveoláris térfogat ( $V_{a}$ ; alveolar volume) és a fiziológiás holttérfogat összegével:

$V_{t}=V_{a}+V_{d}$

(2)

A kilélegzett levegő CO₂-tartalma teljes egészében az alveoláris levegőből származik, mivel a belélegzett levegő CO₂-tartalma elhanyagolható. A kilélegzett levegő CO₂-tartalma (pontosabban parciális CO₂-térfogata) egyenlő a kilélegzett levegő térfogatának (vagyis a légzési térfogatnak) és a CO₂ kilégzési frakciójának ( $F_{e}$ , a CO₂ térfogatszázaléka) szorzatával:

$V_{t}\cdot F_{e}$

(3)

Az alveoláris levegő CO₂-tartalma pedig egyenlő az alveoláris levegő térfogatának és CO₂-frakciójának szorzatával:

$V_{a}\cdot F_{a}$

(4)

Mivel a kilégzett levegő CO₂-tartalma teljesen az alveoláris levegőből származik, ezért az megegyezik az alveoláris levegő CO₂-tartalmával:

$V_{t}\cdot F_{e}=V_{a}\cdot F_{a}$

(5)

Fejezzük ki $V_{a}$ -t a (2) egyenletből és helyettesítsük az (5) egyenletbe:

$V_{t}\cdot F_{e}=(V_{t}-V_{d})\cdot F_{a}$

(6)

Bontsuk fel a zárójelet:

$V_{t}\cdot F_{e}=V_{t}\cdot F_{a}-V_{d}\cdot F_{a}$

(7)

Rendezzük egy oldalra a $V_{t}$ -t tartalmazó tagokat:

$V_{d}\cdot F_{a}=V_{t}\cdot F_{a}-V_{t}\cdot F_{e}$

(8)

Emeljünk ki $V_{t}$ -t:

$V_{d}\cdot F_{a}=V_{t}\cdot (F_{a}-F_{e})$

(9)

Végül osszunk $V_{t}\cdot F_{a}$ -val:

${\frac {V_{d}}{V_{t}}}={\frac {F_{a}-F_{e}}{F_{a}}}$

(10)

Az alveoláris levegő CO₂-frakcióját nem tudjuk közvetlenül mérni, ezért a frakciók helyett célszerűbb parciális nyomásokkal számolni. A parciális nyomás arányos a frakcióval, ezért:

$P_{a}=F_{a}\cdot (P-P_{H_{2}O})$

(11)

illetve:

$P_{e}=F_{e}\cdot (P-P_{H_{2}O})$

(12)

Ahol $P$ a teljes nyomás, $P_{H_{2}O}$ a vízgőz parciális nyomása, ez ugyanis a légutakból kerül a belélegzett levegőbe. Ha behelyettesítjük (11)-t és (12)-t a (10)-es egyenletbe, egyszerűsítés után megkapjuk (1)-et.