A holomorf függvények identitástétele

A komplex analízisben a holomorf függvények identitástétele azt állítja, hogy ha f és g holomorf ugyanazon a D tartományon, továbbá f = g D egy nem üres nyílt részhalmazán, f = g teljes D-ben.

Sőt, az is igaz, hogy ha ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ holomorf, ${\displaystyle z_{0}}$ komplex szám egy ${\displaystyle U}$ környezetben, továbbá ${\displaystyle z_{0}}$ a ${\displaystyle \{z\in U\mid f(z)=g(z)\}}$ halmaz torlódási pontja, akkor ${\displaystyle z_{0}}$-nak van egy másik környezete, ahol minden pontban ${\displaystyle f(z)=g(z)}$.

Ez egy erős állítás, ugyanis a részhalmaz kicsi is lehet a teljes D-hez viszonyítva. Ehhez nem elég, hogy a függvények valós értelemben differenciálhatók legyenek. Informálisan, a folytonos vagy valós értelemben differenciálható függvények lágyak, a holomorfak kemények.

Példák

A tétel állítása az első változatban nem teljesül, ha az alaphalmaz nem összefüggő. Ez könnyen belátható.

A második változatban lényeges, hogy a torlódási pont a környezet belsejében, és ne a szélén legyen:

Tekintjük a ${\displaystyle \sin({\tfrac {1}{z}})}$ függvényt, ami holomorf a ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ tartományon. A tartományban van a ${\displaystyle z_{n}={\tfrac {1}{n\pi }}}$ sorozat, ami a nullához tart. A nulla torlódási pontja is a sorozatnak, és ${\displaystyle \sin({\tfrac {1}{z_{n}}})=\sin(n\pi )=0}$, de az is teljesül, hogy ${\displaystyle \sin({\tfrac {1}{z}})\not \equiv 0}$. Azaz ${\displaystyle \sin({\tfrac {1}{z}})}$ egyenlő nullával a ${\displaystyle z_{n}}$ pontokban, de nem a teljes pontozott síkon.

Következmények

Fontos következmény a valós függvények folytathatósága. Azaz, ha egy függvény kiterjeszthető holomorf módon a komplex számsíkra, akkor ez a kiterjesztés egyértelmű. Így például a valós szinuszfüggvény kiterjesztése a komplex szinuszfüggvény. Emellett erre is érvényesek az addíciós tételek, de a korlátosság nem, ahogy azt a Liouville-tétel mutatja.

Egy másik alkalmazásban ${\displaystyle g=0}$: Ha ${\displaystyle G}$ tartomány, ${\displaystyle f}$ holomorf, és ${\displaystyle f}$ nullhelyeinek van torlódási pontja, akkor ${\displaystyle f\equiv 0}$ a teljes ${\displaystyle G}$ tartományon.

Ha ${\displaystyle G}$ tartomány, akkor az itt holomorf függvények nullosztómentes gyűrűt alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha ${\displaystyle fg\equiv 0}$, akkor ${\displaystyle f\equiv 0}$ vagy ${\displaystyle g\equiv 0}$. Legyen ${\displaystyle f,g\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorf, továbbá ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ és ${\displaystyle fg\equiv 0}$. Ekkor van egy ${\displaystyle z_{0}}$ pont ${\displaystyle G}$-ben, és ennek egy ${\displaystyle U}$ környezete, hogy ${\displaystyle f(z)\neq 0}$ minden ${\displaystyle z\in U}$ esetén. Ekkor azonban a fenti speciális eset miatt ${\displaystyle g|_{U}\equiv 0}$.

Bizonyítás

A tétel élesíthető, mivel a tartományok összefüggők.

Állítás

Legyen ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ tartomány, és ezen ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ holomorf függvények. A következők ekvivalensek:

1. ${\displaystyle f(z)=g(z)}$ minden ${\displaystyle z\in G}$ esetén.
2. Az ${\displaystyle \{z\in G\mid f(z)=g(z)\}}$ halmaznak torlódási pontja van ${\displaystyle G}$-ben.
3. Van egy ${\displaystyle z\in G}$, úgy, hogy ${\displaystyle f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)}$ minden ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ esetén, azaz van egy ${\displaystyle G}$ pont, ahol a függvények és összes deriváltjaik egyeznek.

Bizonyítás

Először is feljegyezzük azt, hogy a holomorf függvények analitikusak, azaz a tartomány minden pontjának egy környezetében Taylor-sorba fejthetők.

A 2. azonnal következik az elsőből, hiszen a tartomány minden pontja torlódási pont.

A 3. indirekt bizonyítható a 2.-ból. Jelölje ${\displaystyle z_{0}}$ a 2.-ban jelzett halmaz torlódási pontját! Feltehető, hogy ${\displaystyle z_{0}=0.}$ Feltesszük továbbá, hogy van ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, hogy ${\displaystyle f^{(n)}(0)\neq g^{(n)}(0)}$. Legyen ${\displaystyle N}$ ezek közül a legkisebb! Ekkor nulla egy környezetében ${\displaystyle f(z)-g(z)=z^{N}h(z)}$, hogy ${\displaystyle h(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(N+n)}(0)-g^{(N+n)}(0)}{(N+n)!}}z^{n}}$ és ${\displaystyle h}$ nullhelyeinek halmaza éppen az a halmaz, ahol a két függvény egybeesik, mivel ${\displaystyle h}$ folytonos. Továbbá ${\displaystyle 0=h(0)={\frac {f^{(N)}(0)-g^{(N)}(0)}{N!}}}$ ellentmond ${\displaystyle N}$ minimális voltának.

Az 1. következik a 3.-ból. Ennek belátásához hivatkozunk a tartomány összefüggőségére. Elég azt megmutatni, hogy ${\displaystyle A=\{z\in G|\forall n\in \mathbb {N} _{0}:f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}}$ nem üres, zárt és nyílt ${\displaystyle G}$-ben. Az első következik az előfeltevésből. A második látható abból, hogy ${\displaystyle \textstyle A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}A_{n}}$, ahol ${\displaystyle A_{n}=\{z\in G|f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}=(f^{(n)}-g^{(n)})^{-1}(\{0\})}$ a ${\displaystyle \{0\}}$ zárt halmaz folytonos ősképeként zárt kell, hogy legyen, és zárt halmazok metszete zárt. Végül ${\displaystyle A}$ nyílt, hiszen ha ${\displaystyle z\in A}$, akkor ${\displaystyle f-g}$ analitikus függvény, ${\displaystyle z}$ egy környezetében előáll Taylor-sorából, ami azonosan nulla. Ezek a környezetek részei ${\displaystyle A}$-nak.

Források

• E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Identitätssatz für holomorphe Funktionen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.