Trigonométrie complexe

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Extension des fonctions circulaires

Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques satisfont les égalités suivantes :

{ sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i = sinh ⁡ ( i z ) i = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 = cosh ⁡ ( i z ) = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k z 2 k ( 2 k ) ! tan ⁡ z = sin ⁡ ( z ) cos ⁡ ( z ) = − i sinh ⁡ ( i z ) cosh ⁡ ( i z ) = − i tanh ⁡ ( i z ) = − i e i z − e − i z e i z + e − i z . {\displaystyle {\begin{cases}\sin z&=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}={\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}}\\\cos z&=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2}}=\cosh(\mathrm {i} z)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{\left(2k\right)!}}\\\tan z&=\displaystyle {\frac {\sin(z)}{\cos(z)}}=-\mathrm {i} {\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\cosh(\mathrm {i} z)}}=-\mathrm {i} \tanh(\mathrm {i} z)=-\mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}\end{cases}}.}
De même que leurs fonctions réciproques arcsin ⁡ z = − i ln ⁡ ( i z + 1 − z 2 ) {\displaystyle \arcsin z=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)} , arccos ⁡ z = − i ln ⁡ ( z + z 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos z=-\mathrm {i} \ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)} et arctan ⁡ z = i 2 [ ln ⁡ ( 1 − i z ) − ln ⁡ ( 1 + i z ) ] {\displaystyle \arctan z={\frac {\mathrm {i} }{2}}\left[\ln \left(1-\mathrm {i} z\right)-\ln(1+\mathrm {i} z)\right]} . Ces fonctions réciproques souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

Rappel : e a + i b = e a e i b = e a ( cos ⁡ ( b ) + i sin ⁡ ( b ) ) {\displaystyle \mathrm {e} ^{a+\mathrm {i} b}=\mathrm {e} ^{a}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} b}=\mathrm {e} ^{a}\left(\cos(b)+\mathrm {i} \sin(b)\right)} .

Formules d'addition

Pour tous nombres complexes a et b, on a par exemple

cosh ⁡ ( a + b ) = cosh ⁡ a cosh ⁡ b + sinh ⁡ a sinh ⁡ b cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b − sin ⁡ a sin ⁡ b . {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+b)&=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\\\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{aligned}}.}

Démonstration
cosh ⁡ ( a + b ) = e a + b + e − a − b 2 = e a e b + e − a e − b 2 = ( cosh ⁡ a + sinh ⁡ a ) ( cosh ⁡ b + sinh ⁡ b ) + ( cosh ⁡ a − sinh ⁡ a ) ( cosh ⁡ b − sinh ⁡ b ) 2 = cosh ⁡ a cosh ⁡ b + sinh ⁡ a sinh ⁡ b , cos ⁡ ( a + b ) = cosh ⁡ i ( a + b ) = cosh ⁡ i a cosh ⁡ i b + sinh ⁡ i a sinh ⁡ i b = cos ⁡ a cos ⁡ b + ( i sin ⁡ a ) ( i sin ⁡ b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b − sin ⁡ a sin ⁡ b . {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+b)&={\frac {{\rm {e}}^{a+b}+{\rm {e}}^{-a-b}}{2}}\\&={\frac {{\rm {e}}^{a}{\rm {e}}^{b}+{\rm {e}}^{-a}{\rm {e}}^{-b}}{2}}\\&={\frac {(\cosh a+\sinh a)(\cosh b+\sinh b)+(\cosh a-\sinh a)(\cosh b-\sinh b)}{2}}\\&=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b,\\\cos(a+b)&=\cosh {\rm {i}}(a+b)\\&=\cosh {\rm {i}}a\cosh {\rm {i}}b+\sinh {\rm {i}}a\sinh {\rm {i}}b\\&=\cos a\cos b+({\rm {i}}\sin a)({\rm {i}}\sin b)\\&=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{aligned}}}

d'où (en remplaçant b par ib) :

cosh ⁡ ( a + i b ) = cosh ⁡ a cos ⁡ b + i sinh ⁡ a sin ⁡ b , cos ⁡ ( a + i b ) = cos ⁡ a cosh ⁡ b − i sin ⁡ a sinh ⁡ b . {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+{\rm {i}}b)&=\cosh a\cos b+{\rm {i}}\sinh a\sin b,\\\cos(a+{\rm {i}}b)&=\cos a\cosh b-{\rm {i}}\sin a\sinh b.\end{aligned}}}

Pour les autres fonctions trigonométriques, on fait de même. Pour tan, cot, tanh et coth, Il vaut mieux utiliser leurs définitions, soit

tan ⁡ z = sin ⁡ z cos ⁡ z , cot ⁡ z = cos ⁡ z sin ⁡ z , tanh ⁡ z = sinh ⁡ z cosh ⁡ z , coth ⁡ z = cosh ⁡ z sinh ⁡ z . {\displaystyle \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}},\quad \cot z={\frac {\cos z}{\sin z}},\quad \tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}},\quad \coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}.}

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