Théorème de la raréfaction des nombres premiers

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Le théorème de la raréfaction des nombres premiers est un résultat démontré par Adrien-Marie Legendre en 1808[1]. C'est, aujourd'hui, un corollaire du théorème des nombres premiers[2], conjecturé par Gauss et Legendre dans les années 1790 et démontré un siècle plus tard.

Le résultat énonce que la densité asymptotique de l'ensemble des nombres premiers est nulle, c'est-à-dire que le nombre de nombres premiers inférieurs à n, π(n), est négligeable devant n lorsque n tend vers l'infini, autrement dit que

lim n → + ∞ π ( n ) n   =   0. {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\pi (n)}{n}}\ =\ 0.}

La preuve initiale utilise les techniques de crible fondées sur le principe d'inclusion-exclusion[2]. L'interprétation est qu'à mesure que n croît, la proportion de nombres premiers parmi les entiers naturels inférieurs à n tend vers zéro, d'où le terme de « raréfaction des nombres premiers ».

Esquisse d'une preuve élémentaire

On note P ( p n ) = ∏ i = 1 n p i {\displaystyle P\left(p_{n}\right)=\prod _{i=1}^{n}p_{i}} le produit des n {\displaystyle n} premiers nombres premiers.

On calcule d'une part l'indicatrice d'Euler de P ( p n ) {\displaystyle P\left(p_{n}\right)} [3] :

Lemme : Les entiers de l'intervalle [ 1 , P ( p n ) ] {\displaystyle \left[1,P\left(p_{n}\right)\right]} qui ne sont multiples d'aucun des p i {\displaystyle p_{i}} sont au nombre de ( p 1 − 1 ) ( p 2 − 1 ) ⋯ ( p n − 1 ) {\displaystyle (p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{n}-1)} , donc leur proportion est ( 1 − 1 p 1 ) … ( 1 − 1 p n ) {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)} .

On prouve d'autre part que lim n → ∞ ( 1 − 1 p 1 ) … ( 1 − 1 p n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)=0} (par divergence de la série des inverses des nombres premiers ou, plus directement[4], en utilisant l'expression de la somme d'une série géométrique de raison 1/pk < 1 et la divergence de la série harmonique).

Une petite astuce supplémentaire permet d'en déduire le résultat final.

Notes et références

  1. ↑ Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : Voyage au cœur de l'arithmétique, [détail de l’édition].
  2. ↑ a et b (en) Paulo Ribenboim, The Book of Prime Number Records, Springer, (lire en ligne), p. 159.
  3. ↑ On peut par exemple utiliser le principe d'inclusion-exclusion ou, comme Delahaye 2000, le théorème des restes chinois.
  4. ↑ Voir « Produit eulérien ».

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  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres