Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Définitions — Soit ν une mesure positive sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et soient ρ, ρ des mesures positives ou complexes sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

• On dit que ρ est absolument continue par rapport à ν, et l'on note ρ ≪ ν, si pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ tel que ν(A) = 0, on a également ρ(A) = 0.
• On dit que ρ est portée par^[1] ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ (ou concentrée sur E) si pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on a ρ(A) = ρ(A ∩ E). (Cela équivaut à l'hypothèse : pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ρ(A\E) = 0.)
• On dit que ρ et ρ sont mutuellement singulières^[1] (ou étrangères), et l'on note ρ ⊥ ρ, s'il existe ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ telle que ρ soit portée par E et ρ soit portée par E^c.

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Soient ν une mesure positive σ-finie sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et μ une mesure positive σ-finie (respectivement réelle, resp. complexe) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

• Il existe un unique couple (μ₁, μ₂) de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) tel que :
  • ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2},}$
  • ${\displaystyle \mu _{1}\ll \nu ,}$
  • ${\displaystyle \mu _{2}\perp \nu .}$

Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue (en) de μ par rapport à ν.

• Il existe une unique (à égalité ν-presque partout près) fonction h mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe) telle que pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on ait :${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}h~\mathrm {d} \nu .}$Cette fonction h s'appelle la dérivée de Radon-Nikodym de μ par rapport à ν.

Définition —  Soit ν une mesure positive σ-finie sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et soit ρ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}).}$ On dit que ρ possède une densité h par rapport à ν si h est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on ait :

${\displaystyle \rho (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu .}$

On note

${\displaystyle h={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \nu }}.}$

Proposition — Soient ν une mesure positive σ-finie sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}).}$ Il y a équivalence entre :

• ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$
• μ possède une densité par rapport à ν.

Rappel — 

• On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℝ^d une fonction f mesurable, telle que pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ^d :${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\ 1_{A}(u)\,f(u)~\mathrm {d} u=\int _{A}\ f(u)~\mathrm {d} u.}$
• La loi de probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ d'une variable aléatoire ${\displaystyle X}$ à valeurs dans ℝ^d est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ^d, par :${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(A)=\mathbb {P} (X\in A).}$
• Si d = 1, X est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r.

Critère — Une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ^d possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien A de ℝ^d dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z\in A\right)=0.}$

Remarque — Dans le cas d = 1, une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.