Théorème de Niven

En mathématiques, le théorème de Niven, d'après Ivan Niven, énonce que les seules valeurs rationnelles θ dans l'intervalle 0° ≤ θ ≤ 90° telles que leur sinus soit aussi rationnel sont[1]:

sin ⁡ 0 ∘ = 0 , sin ⁡ 30 ∘ = 1 2 , sin ⁡ 90 ∘ = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}

Ce théorème apparaît comme le corollaire 3.12 de l'ouvrage de Niven sur les nombres irrationnels[2].

Le théorème s'étend à d'autres fonctions trigonométriques[2]. Pour des valeurs rationnelles de θ, les seules valeurs rationnelles du sinus et cosinus sont 0, ±1/2, et ±1 ; les seules valeurs rationnelles du séquant et coséquant sont ±1 et ±2 ; et pour la tangente et cotangente, ce sont 0 et ±1[3].

Articles connexes

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Niven's theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Schaumberger, « A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities », Two-Year College Mathematics Journal, vol. 5, no 1,‎ , p. 73–76 (DOI 10.2307/3026991, JSTOR 3026991)
  2. ↑ a et b Ivan Niven, Irrational Numbers, The Mathematical Association of America, coll. « The Carus Mathematical Monographs » (no 11), (MR 0080123, lire en ligne), 41
  3. ↑ A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Glass et Székely, « Fermat's last theorem for rational exponents », American Mathematical Monthly, vol. 111, no 4,‎ , p. 322–329 (DOI 10.2307/4145241, JSTOR 4145241, MR 2057186)

Bibliographie

  • Olmsted, « Rational values of trigonometric functions », The American Mathematical Monthly, vol. 52,‎ , p. 507–508 (JSTOR 2304540)
  • Lehmer, « A note on trigonometric algebraic numbers », The American Mathematical Monthly, vol. 40,‎ , p. 165–166 (DOI 10.2307/2301023, JSTOR 2301023)
  •  (en) Jörg Jahnel, « When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number? », .

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Théorème de Niven », sur MathWorld
  • Une (en)démonstration sur le ProofWiki.
  • icône décorative Portail des mathématiques