Table de finale

/* Rois oubliés */

1. include <QCoreApplication>
2. include <stdio.h>
3. include <math.h>
4. define MAX 8694

/*

1. RESULTATS

Le résultat obtenu avec le programme ci-dessous donne :

 Il y a 4,152.10^46 positions (légales ou non).\n"
 Il y a 3,961.10^42 positions (légales ou non) avec au maximum, pour chaque camp, 9 dames, 2 tours, 2 fous, 2 cavaliers.\n"
 Il y a 4,941.10^39 positions (légales ou non) avec au maximum, pour chaque camp, 2 dames, 2 tours, 2 fous, 2 cavaliers.\n"
 Il y a 1,198.10^38 positions (légales ou non) avec au maximum, pour chaque camp, 1 dame , 2 tours, 2 fous, 2 cavaliers.\n"

Ce nombre est partiellement sous-estimé en raison d'autres positions légales :

 1. d'une multiplication de certaines positions par 16 maximum si on tient compte des roques éventuels
 2. d'une multiplication de certaines positions par 6  maximum si on tient compte de la prise en passant
 3. de la différence entre 2 positions qui n'auraient pas le même passé si on tient compte de la règle des 3 positions identiques
 4. de la différence entre 2 positions qui n'auraient pas le même passé si on tient compte de la règle des 50 coups

Ce nombre est partiellement sur-estimé en raison des positions illégales :

 1. le camp ayant le trait ne peut pas capturer un roi
 2. le camp ayant le trait ne doit pas avoir son roi attaqué 3 fois, ni parfois 2 fois
 3. il est impossible que les pions se soient déplacées d'une certaine façon indépendamment des pièces adverses
 4. il est impossible que les pions se soient déplacées d'une certaine façon compte tenu du nombre de pièces adverses restantes sur l'échiquier
 5. certaines pièces ne peuvent être placée là (Fa1 avec Pb2)
 6. les cavaliers ne sont pas sur la bonne couleur (exemple : la position de départ avec trait aux Noirs est illégale)

La sous-estimation est très faible si on tient compte du roque et de la prise en passant seulement. La sur-estimation est moyenne.

2. SOURCES

Les sources internet sont :

- Résultat : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Shannon
- Calcul   : http://m3www.gonze.org/wikiPG/index.php/Nombre_de_positions_l%C3%A9gales_au_jeu_d%27%C3%A9checs

Le nombre de positions légales possibles est estimé à environ :

- 7,7.10^45 (John Tromp)
- 1,8.10^46 (Shirish Chinchalkar)
- 4,8.10^44 (Wikipedia : https://tromp.github.io/chess/chess.html)

Toutefois, mes chiffres correspondent avec ceux de Shirish Chinchalkar.

3. RESUME

Le nombre de positions légales possibles est estimé à environ :

- 200.10^44 (moi)                 ( 100 %)
- 180.10^44 (Shirish Chinchalkar) (  43 %)
-  77.10^44 (John Tromp)          (  19 %)
- 4,8.10^44 (Wikipedia)           (1,15 %)

• /

int main(int argc, char *argv[]) {

 QCoreApplication a(argc, argv);

 double    fact[64];
 double    cnp [64][64];
 int       D,d, T,t, F,f, C,c, P,p, n, i, j, cnt = 0, terrestrial;
 int       legal[10][11][11][11][9];  /* Nombre de D x T x F x C x P : [0;9] x [0;10] x [0;10] x [0;10] x [0;8] ; Cardinal : 10 x 11 x 11 x 11 x 9 = 119.790 */
 int       index[MAX][5];             /* [8.694] x [D, T, F, C, P] */
 double    element,                   /* Nombre de positions (légales ou non) lorsque les nombres de D, d, T, t, F, f, C, c, P et p sont fixés */
           total  = 0,                /* Total des éléments de cross[MAX][MAX] */
           total9 = 0,                /* Total des éléments de cross[MAX][MAX] avec 9 dames maximum, mais ni plus de 2 tours, ni plus de 2 fous, ni plus de 2 cavaliers */
           total2 = 0,                /* Total des éléments de cross[MAX][MAX] avec 2 dames maximum, mais ni plus de 2 tours, ni plus de 2 fous, ni plus de 2 cavaliers */
           total1 = 0;                /* Total des éléments de cross[MAX][MAX] avec 1 dame  maximum, mais ni plus de 2 tours, ni plus de 2 fous, ni plus de 2 cavaliers */

 for (n = 0 ; n < 64 ; ++n)
 {
   fact[n] = n ? n*fact[n-1] : 1.;
   for (p = 0 ; p <= n ; ++p)
     cnp[n][p] = fact[n]/fact[p]/fact[n-p];
 }

 for (D = 0 ; D < 10 ; ++D)
 for (T = 0 ; T < 11 ; ++T)
 for (F = 0 ; F < 11 ; ++F)
 for (C = 0 ; C < 11 ; ++C)
 for (P = 0 ; P <  9 ; ++P)
   if ((legal[D][T][F][C][P] =   (D-1 <0?0: D-1)
                               + (T-2 <0?0: T-2)
                               + (F-2 <0?0: F-2)
                               + (C-2 <0?0: C-2) <= 8-P))
   {
     index[cnt][0] = D;
     index[cnt][1] = T;
     index[cnt][2] = F;
     index[cnt][3] = C;
     index[cnt][4] = P;
     ++cnt;
   }
 printf("Pour chaque camp, il y a %d ensembles legaux sur 119.790.\n\n",cnt);  /* cnt = MAX = 8.694 et cnt^2 = 75.585.636 */

 for (i = 0 ; i < MAX ; ++i)
 for (j = 0 ; j < MAX ; ++j)
 {
   D = index[i][0]; d = index[j][0];
   T = index[i][1]; t = index[j][1];
   F = index[i][2]; f = index[j][2];
   C = index[i][3]; c = index[j][3];
   P = index[i][4]; p = index[j][4];
   total += element = 2 * cnp[48]                  [P]
                        * cnp[48-P]                [p]
                        * cnp[64-P-p]              [D]
                        * cnp[64-P-p-D]            [d]
                        * cnp[64-P-p-D-d]          [T]
                        * cnp[64-P-p-D-d-T]        [t]
                        * cnp[64-P-p-D-d-T-t]      [F]
                        * cnp[64-P-p-D-d-T-t-F]    [f]
                        * cnp[64-P-p-D-d-T-t-F-f]  [C]
                        * cnp[64-P-p-D-d-T-t-F-f-C][c];
   if ((terrestrial = T<=2 && t<=2 && F<=2 && f<=2 && C<=2 && c<=2                )) total9 += element;
   if ( terrestrial                                                && D<=2 && d<=2 ) total2 += element;
   if ( terrestrial                                                && D<=1 && d<=1 ) total1 += element;
 }
 printf("Le nombre de positions (legales ou non) de chaque element du tableau a ete calcule.\n"
        "Il y avait %d x %d = %d elements dans le tableau.\n\n",cnt, cnt, cnt*cnt);
 printf("Il y a %g positions (legales ou non).\n"
        "Il y a %g positions (legales ou non) avec au maximum, pour chaque camp, 9 dames, 2 tours, 2 fous, 2 cavaliers.\n"
        "Il y a %g positions (legales ou non) avec au maximum, pour chaque camp, 2 dames, 2 tours, 2 fous, 2 cavaliers.\n"
        "Il y a %g positions (legales ou non) avec au maximum, pour chaque camp, 1 dame , 2 tours, 2 fous, 2 cavaliers.\n",
        total,total9,total2,total1);

 return a.exec();