Symbole de Levi-Civita

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Pour les articles homonymes, voir Levi et Civita (homonymie).

En mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions (i d'avant en arrière, j de haut en bas et k de gauche à droite).
ε i j k = | δ i 1 δ i 2 δ i 3 δ j 1 δ j 2 δ j 3 δ k 1 δ k 2 δ k 3 | {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}\delta _{i1}&\delta _{i2}&\delta _{i3}\\\delta _{j1}&\delta _{j2}&\delta _{j3}\\\delta _{k1}&\delta _{k2}&\delta _{k3}\end{vmatrix}}} .

Ainsi, ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.

Dimension 3

En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

ε i j k = { + 1 si  ( i , j , k )  est  ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 )  ou  ( 3 , 1 , 2 ) , − 1 si  ( i , j , k )  est  ( 3 , 2 , 1 ) , ( 1 , 3 , 2 )  ou  ( 2 , 1 , 3 ) , 0 si  i = j  ou  j = k  ou  k = i . {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou }}(2,1,3),\\0&{\mbox{si }}i=j{\mbox{ ou }}j=k{\mbox{ ou }}k=i.\end{cases}}}

On remarque que si i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , i ≠ k {\displaystyle i\neq k} et j ≠ k {\displaystyle j\neq k} , alors ( i , j , k ) {\displaystyle (i,j,k)} représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :

ε i j k ε l m n = δ i l δ j m δ k n + δ i m δ j n δ k l + δ i n δ j l δ k m − δ i l δ j n δ k m − δ i n δ j m δ k l − δ i m δ j l δ k n {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}}
∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
∑ i , j = 1 3 ε i j k ε i j n = 2 δ k n {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}

Dimension 2

En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :

ε i j = { + 1 si  ( i , j ) = ( 1 , 2 ) − 1 si  ( i , j ) = ( 2 , 1 ) 0 si  i = j {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j\end{cases}}}

On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :

( ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ) = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}

dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité

( δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 ) = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta _{11}&\delta _{12}\\\delta _{21}&\delta _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}

Dimension n

En dimension n, on peut démontrer que

∑ i 1 , … , i n = 1 n ( ε i 1 … i n ) 2 = n ! {\displaystyle \sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\right)^{2}=n!}
Démonstration

S'il existe deux indices égaux, c'est-à-dire s'il existe j , k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j,k\in \{1,\dots ,n\}} tels que i j = i k {\displaystyle i_{j}=i_{k}} , alors on obtient ε i 1 … i n = 0 {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=0} (le déterminant est nul car il y a égalité des lignes j et k).

Ainsi ε i 1 … i n ≠ 0 ⟺ ( i 1 , … , i n ) ∈ S n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\neq 0\iff (i_{1},\dots ,i_{n})\in {\mathfrak {S}}_{n}}

Finalement ∑ i 1 , … , i n = 1 n ( ε i 1 … i n ) 2 = ∑ σ ∈ S n 1 = | S n | = n ! {\displaystyle \sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\right)^{2}=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}1=|{{\mathfrak {S}}_{n}}|=n!} .

Interprétation

Dans une base orthonormée directe ( e 1 → , e 2 → , e 3 → ) {\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})} , ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs e i → , e j → , e k → {\displaystyle {\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}},{\vec {e_{k}}}} .

D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.

Voir aussi

Articles connexes

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Levi-Civita symbol » (voir la liste des auteurs).
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