Segment circulaire

Un segment circulaire est coloré en vert.

En géométrie, un segment circulaire est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre la droite sécante et un arc.

Soient (voir figure) :

  • R {\displaystyle R} le rayon du cercle ;
  • θ {\displaystyle \theta } l'angle en radians du secteur circulaire ;
  • s {\displaystyle s} la longueur de l'arc ;
  • c {\displaystyle c} la longueur de la corde ;
  • h {\displaystyle h} la hauteur du segment ;
  • d {\displaystyle d} la hauteur de la portion triangulaire.

Alors :

  • la longueur de l'arc est  s = R θ {\displaystyle s=R\theta }  ;
  • la longueur de la corde est  c = 2 R sin ⁡ ( θ / 2 ) = 2 d tan ⁡ ( θ / 2 ) = 2 R 2 − d 2 = 2 2 h R − h 2 {\displaystyle c=2R\sin(\theta /2)=2d\tan(\theta /2)=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {2hR-h^{2}}}}  ;
  • la hauteur de la portion triangulaire est  d = R cos ⁡ ( θ / 2 ) = c 2 cot ⁡ ( θ / 2 ) = 1 2 4 R 2 − c 2 {\displaystyle d=R\cos(\theta /2)={\frac {c}{2}}\cot(\theta /2)={\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}}  ;
  • la hauteur (ou flèche) est  h = R − d = R ( 1 − cos ⁡ ( θ / 2 ) ) {\displaystyle h=R-d=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)}  ;
  • l'aire est  A = R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)} .
Démonstration de la formule de l'aire

L'aire totale de la portion de disque vaut S = θ 2 R 2 {\displaystyle S={\frac {\theta }{2}}R^{2}} . Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, A {\displaystyle A} , du segment circulaire (en vert) et celle, A 1 {\displaystyle A_{1}} , du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

A = S − A 1 {\displaystyle A=S-A_{1}} .

L'aire du triangle vaut :

A 1 = 1 2 × base × hauteur = 1 2 × c × d = 1 2 × 2 R sin ⁡ ( θ / 2 ) × R cos ⁡ ( θ / 2 ) = R 2 2 × 2 sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) = R 2 2 sin ⁡ θ {\displaystyle A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }} ,

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : A = S − A 1 = θ 2 R 2 − R 2 2 sin ⁡ θ = R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })} .

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Circular Segment », sur MathWorld
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