Quadrupôle électrostatique

Cet article concerne le quadrupôle en électrostatique. Pour le quadrupôle (ou quadripôle) en électrocinétique, voir Quadripôle.

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En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Analyse du quadrupôle

Soit une distribution $({\mathcal {D}})$ de charges $q_{i}$ aux points $P_{i}$ . Cette distribution $({\mathcal {D}})$ à support compact crée à une grande distance des charges (pour $r\gg a$ , avec $a$ longueur caractéristique de la distribution) un potentiel $V_{1}(r)$ .

On définit :

${\vec {r_{i}}}={\vec {OP_{i}}}$
$q=\sum _{i}q_{i}$ la somme des charges
${\vec {p}}(O)=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}$ , indépendant de $O$ si $q=0$ , nul si $O$ est choisi barycentre des charges
$J_{O}=\sum _{i}q_{i}r_{i}^{2}$ , le moment d'inertie par rapport à $O$
${\hat {J}}({\vec {X}})=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}\wedge ({\vec {X}}\wedge {\vec {r_{i}}})$ , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à $O$
${\hat {Q}}=2J_{o}X-3{\hat {J}}X$ , l'opérateur linéaire quadrupolaire en $O$

On peut vérifier que ${\hat {Q}}$ est de trace nulle : ${\textrm {Tr}}\ {\hat {Q}}=0$ .

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante $Q_{ij}$ du tenseur quadrupolaire est

$Q_{ij}=\int \rho \left(3r_{i}r_{j}-\|r\|^{2}\delta _{ij}\right){\textrm {d}}^{3}{\vec {r}}$ , où $\delta _{ij}$ est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire

Théorème :

$V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {u}}}{r^{2}}}+{\frac {{\vec {u}}\cdot \left({\hat {Q}}{\vec {u}}\right)}{2r^{3}}}\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)$ , avec ${\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{r}}$

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Cas particulier : axe de symétrie

Lorsque $({\mathcal {D}})$ possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et ${\hat {Q}}$ est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe $(Oz)$ , alors la matrice des moments est $Q_{x,x}=Q_{y,y}=-Q_{o}/2$ et $Q_{z,z}=Q_{o}$ .

Si $q$ n'est pas nul, on choisit $O$ en $G$ , et alors :

$V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {Q_{o}}{2r^{3}}}\cdot P_{2}(\cos \theta )\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)$ , avec $P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}$ (3^e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, $Q_{o}=2(A-C)<0$ ; l'usage est de poser $J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}=1,08263\times 10^{-3}$ .