Plongement de Kuratowski

En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique).

Théorème de Kuratowski-Wojdysławski

Si (X,d) est un espace métrique, a un point de X et ℓ∞(X) l'espace de Banach des applications bornées de X dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application Φ : X → ℓ ∞ ( X ) {\displaystyle \Phi :X\to \ell ^{\infty }(X)} définie par ∀ x , y ∈ X Φ ( x ) ( y ) = d ( x , y ) − d ( a , y ) {\displaystyle \forall x,y\in X\quad \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(a,y)} est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe[1].

Si (X,d) est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant Φ(x)(y) = d(x, y)[2],[3].

On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de ℓ∞(X) constitué des applications bornées continues[4].

Utilisations

Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plans, etc. — et ils sont complets. Étant donné une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X.

Histoire

Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement[5], mais une variante très proche apparaît déjà dans des articles de Fréchet. Ces articles l’utilisent respectivement pour exhiber ℓ∞(X) comme un espace métrique séparable "universel" (il n'est pas lui-même séparable, d'où les guillemets)[6] et pour construire une métrique générale sur ℝ comme pullback de la métrique sur une simple courbe de Jordan dans ℓ∞(X)[7].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kuratowski embedding » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) K. Morita et J.-I. Nagata, Topics in General Topology, Elsevier, , 746 p. (ISBN 978-0-08-087988-8, lire en ligne), p. 49.
  2. ↑ (en) M. Wojdysławski, « Rétractes absolus et hyperespaces des continus », Fund. Math., vol. 32,‎ , p. 184-192 (lire en ligne) (p. 186).
  3. ↑ (en) Karol Borsuk, Theory of Retracts, , Theorem III.8.1.
  4. ↑ (en) Juha Heinonen, « Geometric embeddings of metric spaces », .
  5. ↑ Casimir Kuratowski, « Quelques problèmes concernant les espaces métriques non séparables », Fundam. Math., vol. 25,‎ , p. 534-545 (lire en ligne).
  6. ↑ Maurice Fréchet, « Les dimensions d'un ensemble abstrait », Mathematische Annalen, vol. 68, no 2,‎ , p. 145–168 (ISSN 0025-5831 et 1432-1807, DOI 10.1007/BF01474158, lire en ligne, consulté le )
  7. ↑ Maurice Frechet, « L'Expression la Plus Generale de la "Distance" Sur Une Droite », American Journal of Mathematics, vol. 47, no 1,‎ , p. 1 (DOI 10.2307/2370698, lire en ligne, consulté le )

Voir aussi

Articles connexes

  • Enveloppe métrique (en), un plongement d'un espace métrique dans un espace métrique injectif (en), défini de façon analogue au plongement de Kuratowski
  • Théorème de la goutte, un exemple d'utilisation

Liens externes

  • (en) Richard F. Arens et James Eells, « On embedding uniform and topological spaces », Pacific J. Math., vol. 6, no 3,‎ , p. 397-403 (lire en ligne)
  • (en) James Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1, no 3,‎ , p. 353-367 (lire en ligne)
  • (en) Kinjirô Kunugui, « Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles », Proc. Imp. Acad., vol. 11, no 9,‎ , p. 351-353 (DOI 10.3792/pia/1195580328)
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