Parallélogramme

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En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leur milieu^[1].

Définitions équivalentes

En géométrie purement affine, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• les vecteurs ${\displaystyle {\rm {\overrightarrow {AB}}}}$ et ${\displaystyle {\rm {\overrightarrow {DC}}}}$ sont égaux ;
• les vecteurs ${\displaystyle {\rm {\overrightarrow {AD}}}}$ et ${\displaystyle {\rm {\overrightarrow {BC}}}}$ sont égaux.

Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC)^[2].

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :

• le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
• il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
• ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
• c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

Propriétés

• Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
• Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : ${\displaystyle {\rm {{AC}^{2}+{BD}^{2}=2\left({AB}^{2}+{BC}^{2}\right)}}}$.
• Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires
• Les angles opposés sont égaux

Cas particuliers

• Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur^[1]. Il est même équilatéral.
• Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
• Un carré est un losange rectangle.

Aire

Soient ${\displaystyle b}$ la longueur d'un côté du parallélogramme et ${\displaystyle h}$ la longueur de la hauteur associée. L'aire ${\displaystyle A}$ du parallélogramme vaut :

${\displaystyle A=b\times h.}$

L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.

Antiparallélogramme

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

Équipollence et vecteurs

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :

• on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
• deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme (la relation d'équipollence est une relation d'équivalence) ;
• on appelle vecteur ${\displaystyle {\rm {\overrightarrow {AB}}}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

On retrouve alors qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si ${\displaystyle {\rm {{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}}}$.

Voir aussi

• Aire d'un polygone
• Parallélépipède
• Paralléloèdre (en)
• Parallélogone (en)
• Théorème de Varignon

Notes et références

• Portail de la géométrie