Ondelette de Daubechies

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Ondelette 2D de Daubechies 20 (Ondelette Fn X Scaling Fn).

Nommées d'après leur créatrice Ingrid Daubechies, les ondelettes de Daubechies sont une famille d'ondelettes orthogonales définissant une transformée en ondelettes discrète, caractérisées par un nombre maximal de moments dissipants pour un support donné. Pour chaque type d'ondelette de cette classe, il existe une fonction d'échelle (appelée aussi ondelette mère) qui génère une analyse multirésolution orthogonale.

Définition et propriétés

Les filtres de Daubechies sont définis de façon à vérifier les propriétés suivantes[1] :

  • pour un ordre N, le filtre mN est un polynôme trigonométrique de degré 2N+1 à coefficients réels
  • ils vérifient :
    • ∀ x , | m N ( x ) | 2 + | m N ( x + π ) | 2 = 1 {\displaystyle \forall x,\left|m_{N}(x)\right|^{2}+\left|m_{N}(x+\pi )\right|^{2}=1}
    • m N ( 0 ) = 1   ,   ∀ p ∈ [ [ 0 , N ] ] , ∂ p m N ∂ x p ( x ) | x = π = 0 {\displaystyle m_{N}(0)=1\ ,\ \forall p\in [\![0,N]\!],\left.{\frac {\partial ^{p}m_{N}}{\partial x^{p}}}(x)\right|_{x=\pi }=0}

Celles-ci ne suffisent pas à définir précisément le filtre, seulement son module :

| m N ( x ) | 2 = Q N ( cos ⁡ x ) {\displaystyle \left|m_{N}(x)\right|^{2}=Q_{N}(\cos x)}

où

Q N ( X ) = ( 1 + X 2 ) N + 1 ∑ k = 0 N ( N + k k ) ( 1 − X 2 ) k . {\displaystyle Q_{N}(X)=\left({\frac {1+X}{2}}\right)^{N+1}\sum _{k=0}^{N}{\binom {N+k}{k}}\left({\frac {1-X}{2}}\right)^{k}.}

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Daubechies wavelet » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) Djalil Kateb et Pierre Gilles Demarie-Rieusset, « Asymptotic Behavior of the Daubrechies Filters », Applied and Computational Harmonic Analysis, vol. 2,‎ , p. 398-399 (lire en ligne)

Bibliographie

  • (en) Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, (ISBN 978-0-89871-274-2)
  • (en) Arne Jensen et Anders la Cour-Harbo, Ripples in Mathematics : The Discrete Wavelet Transform, Berlin, Springer, , 246 p., poche (ISBN 978-3-540-41662-3, LCCN 2001020907, lire en ligne), p. 157–160
  • (en) Jianhong Shen et Gilbert Strang, « Asymptotics of Daubechies Filters, Scaling Functions, and Wavelets », Applied and Computational Harmonic Analysis, vol. 5, no 3,‎ , p. 312-331
  • (en) A.N. Akansu, « An Efficient QMF-Wavelet Structure (Binomial-QMF Daubechies Wavelets) », Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets,‎ (lire en ligne)

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

  • Ondelette, sur Wikimedia Commons

Article connexe

Transformation en ondelettes rapide (en)

Liens externes

  • (en) « Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets »,
  • (en) Carlos Cabrelli et Ursula Molter, « Generalized Self-similarity », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 230,‎ , p. 251 - 260 (lire en ligne).
  • (en) Deepika Sripathi, « Hardware implementation of wavelets »,


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