Multiplicateur de Schur

En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers,

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

${\displaystyle G\simeq F/R}$,

alors, par la formule d'homologie entière de Hopf^[1], le multiplicateur de Schur est isomorphe à

${\displaystyle (R\cap [F,F])/[F,R]}$,

où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba⁻¹b⁻¹ pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$

où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (c.-à-d. initiale – donc unique) p : E → G si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G^[2]. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est

${\displaystyle 1\to (R\cap [F,F])/[F,R]\to [F,F]/[F,R]\to G\to 1}$.

L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur^[3],[4],[5], peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes.

Exemple

Le groupe alterné A_n est parfait si n ≥ 5 (car simple et non abélien). Son multiplicateur de Schur est^[6] :

${\displaystyle H_{2}({\rm {A}}_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&{\text{ si }}n=1,2{\text{ ou }}3,\\\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} &{\text{ si }}n=6{\text{ ou }}7,\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

La représentation standard A_n → SO_n–1 produit, par restriction de l'extension centrale 0 → ℤ/2ℤ → Spin_n–1 → SO_n–1 → 1, une extension centrale

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\widetilde {{\rm {A}}_{n}}}\to {\rm {A}}_{n}\to 1}$

qui, si n ≠ 6, 7, est l'extension centrale universelle de A_n^[6].

Notes et références

• (en) Gregory Karpilovsky, The Schur Multiplier, Oxford University Press, 1987 (ISBN 978-0-19-853554-6)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur multiplier » (voir la liste des auteurs).

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