En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 [1].
Définition
Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par :
.
Obtention de cette moyenne
Étant donné une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée strictement monotone sur , il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel dans l'intervalle tel que (qui est la valeur moyenne de sur )
La moyenne de Stolarsky est précisément égale à
lorsqu'on prend .
Propriétés
est bien une moyenne, car comprise entre a et b. De plus on peut prolonger par continuité à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.
Cas particuliers
est le minimum de a et b.
s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de a et b.
s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de a et b.
est le maximum de a et b.
Généralisations
Pour plusieurs variables
On peut généraliser cette moyenne à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées. On obtient :
avec .
Pour une fonction quelconque
La définition pour est possible dès que la fonction est strictement convexe et dérivable sur . On a vu ci-dessus les cas .
Pour , on a dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène [2].
D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type [2].
Moyennes bi-paramétriques
On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par[3]:
.
Voir aussi
Moyenne d'ordre p
Moyenne de Lehmer
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stolarski mean » (voir la liste des auteurs).
↑(en) Kenneth B. Stolarsky, « Generalizations of the logarithmic mean », Mathematics Magazine, vol. 48, , p. 87–92 (ISSN0025-570X, DOI10.2307/2689825, JSTOR2689825, zbMATH0302.26003)
↑ a et bJ.B. Hiriart-Urruty, « Il y a encore du TAF », Losanges, , p. 41 (lire en ligne )
↑(en) Edward Neuman, « Stolarsky means of several variables », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 6, no 2, (lire en ligne)