Matrice à diagonale dominante

La matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&1&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{pmatrix}}}$

vérifie

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}|a_{11}|&\geq &|a_{12}|+|a_{13}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|1|\\|a_{22}|&\geq &|a_{21}|+|a_{23}|\,&{\text{car}}\,&|-3|&\geq &|1|+|2|\\|a_{33}|&\geq &|a_{31}|+|a_{32}|\,&{\text{car}}\,&|4|&\geq &|-1|+|2|\end{array}}\right..}$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{pmatrix}}}$

vérifie

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}|b_{11}|&<&|b_{12}|+|b_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-2|&<&|2|+|1|\\|b_{22}|&\geq &|b_{21}|+|b_{23}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|2|\\|b_{33}|&<&|b_{31}|+|b_{32}|\,&{\text{car}}\,&|0|&<&|1|+|-2|\end{array}}\right..}$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{pmatrix}}}$

vérifie

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}|c_{11}|&>&|c_{12}|+|c_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-4|&>&|2|+|1|\\|c_{22}|&>&|c_{21}|+|c_{23}|\,&{\text{car}}\,&|6|&>&|1|+|2|\\|c_{33}|&>&|c_{31}|+|c_{32}|\,&{\text{car}}\,&|5|&>&|1|+|-2|\end{array}}\right..}$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Ne doit pas être confondu avec Lemme de Hadamard.

Raisonnons par contraposition, en supposant A non inversible. Alors, 0 est valeur propre donc d'après le théorème de Gerschgorin :

${\displaystyle \exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}|\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|}$,

autrement dit : A n'est pas à diagonale strictement dominante.

Le sens « seulement si » résulte immédiatement de la définition des matrices positives et définies positives. Réciproquement, supposons que ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}}$ est une matrice hermitienne à diagonale dominante dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Soit λ une valeur propre (nécessairement réelle) de A. Alors,

${\displaystyle \exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}-\lambda |\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|\leq |a_{i,i}|}$ (resp. ${\displaystyle <|a_{i,i}|}$).

Comme ${\displaystyle |a_{i,i}|}$ est positif ou nul (resp. strictement positif), λ l'est aussi, ce qui prouve que A est positive (resp. définie positive).

Le second point peut aussi se déduire du premier et du lemme d'Hadamard.

1. ↑ Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, 2004, 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31
2. ↑ Jean-Étienne Rombaldi, Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques : Première épreuve : les exposés (lire en ligne), p. 131, exercice (corrigé) 14.3, dans le cas d'une matrice symétrique réelle.