Méthode LUX de Conway pour les carrés magiques

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La méthode LUX de Conway pour les carrés magiques est, en mathématiques, un algorithme inventé par John Horton Conway pour créer des carrés magiques d'ordre ${\displaystyle 4n+2}$, où ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{\star }}$.

Méthode

On commence par créer un tableau de ${\displaystyle 2n+1}$ cases de côté, en le remplissant comme suit, de haut en bas :

• ${\displaystyle n+1}$ lignes de L.
• ${\displaystyle 1}$ ligne de U.
• ${\displaystyle n-1}$ ligne(s) de X.

Puis, on échange le U au milieu de sa ligne avec le L qui le surplombe.

Chaque lettre représentera, dans le carré magique final d'ordre ${\displaystyle 4n+2}$, un bloc carré de 4 cases.

On construit ensuite le tableau final, puis on le parcourt en suivant les cases du tableau « LUX » selon la méthode dite de Siam, permettant de créer de carrés magiques d'ordre impair (or, ${\displaystyle 2n+1}$ est impair) :

• On commence par le milieu de la 1^re ligne. Puis, à chaque itération, en revenant par le bas ou la gauche du carré quand les bords haut ou droit sont dépassés :
• Si la case juste en haut à droite est libre, on s'y déplace.
• Sinon, on se déplace dans la case juste au-dessous de la case actuelle.

On effectue donc ces déplacements sur le tableau « LUX ». À chaque arrivée dans une case de celui-ci, on se reporte ensuite au carré magique final, en repérant les 4 cases correspondant à la case unique de « LUX ». On remplit ensuite ces 4 cases avec les entiers croissants, suivant directement les 4 entiers placés dans le bloc de 4 cases précédent. À noter que le tout premier nombre placé dans le carré magique est 1. L'ordre croissant des 4 entiers remplissant un bloc de 4 cases est déterminé par la lettre présente dans « LUX », en relation avec les schémas de construction suivants :

${\displaystyle \mathrm {L} :\quad {\begin{smallmatrix}4&&1\\&\swarrow &\\2&\rightarrow &3\end{smallmatrix}}\qquad \mathrm {U} :\quad {\begin{smallmatrix}1&&4\\\downarrow &&\uparrow \\2&\rightarrow &3\end{smallmatrix}}\qquad \mathrm {X} :\quad {\begin{smallmatrix}1&&4\\&\searrow \!\!\!\!\!\!\nearrow &\\3&&2\end{smallmatrix}}}$

Exemple

Prenons par exemple ${\displaystyle n=2}$. Le tableau « LUX » est de côté 5 :

L	L	L	L	L
L	L	L	L	L
L	L	U	L	L
U	U	L	U	U
X	X	X	X	X

On peut ainsi construire un carré magique d'ordre 10 :

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

Sources

• (en) Eric W. Weisstein, « Magic Square », sur MathWorld.
• (en) Martin Erickson, Aha! Solutions, Mathematical Association of America, coll. « Spectrum », 2009, 220 p. (ISBN 978-0-88385-829-5), p. 98-99 [lire en ligne].

Référence

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