Inégalité de Maclaurin

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En mathématiques, les inégalités de Maclaurin forment une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

Elles sont parfois dénommées aussi "inégalités de Newton", dont elles sont une conséquence[1].

Énoncé

Soient a1, a2, … , an des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes Sk définies par

S k = ∑ 1 ⩽ i 1 < ⋯ < i k ⩽ n a i 1 a i 2 ⋯ a i k ( n k ) ⋅ {\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }

Le numérateur de ce quotient est la fonction symétrique élémentaire de degré k {\displaystyle k} en les n {\displaystyle n} variables a1, a2, … , an, c'est-à-dire la somme de tous les produits de k {\displaystyle k} d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.

Alors,

S 1 ⩾ S 2 ⩾ S 3 3 ⩾ ⋯ ⩾ S n n , {\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt {S_{2}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geqslant \cdots \geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}},}

et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les ai sont égaux.

Exemples

L'inégalité S 1 ⩾ S n n {\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}}} est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des n {\displaystyle n} nombres.

Pour n = 4 {\displaystyle n=4} , les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels a, b, c, d > 0)

a + b + c + d 4 ⩾ a b + a c + a d + b c + b d + c d 6 ⩾ a b c + a b d + a c d + b c d 4 3 ⩾ a b c d 4 . {\displaystyle {\frac {a+b+c+d}{4}}\geqslant {\sqrt {\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\geqslant {\sqrt[{4}]{abcd}}.}

Démonstration

Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant S0 = 1)

∀ k = 1 , … , n − 1 S k 2 ⩾ S k − 1 S k + 1 . {\displaystyle \forall k=1,\ldots ,n-1\quad S_{k}^{2}\geqslant S_{k-1}S_{k+1}.}

En effet, S 1 2 S 2 4 S 3 6 … S k 2 k ⩾ ( S 0 S 2 ) ( S 1 S 3 ) 2 ( S 2 S 4 ) 3 … ( S k − 1 S k + 1 ) k {\displaystyle S_{1}^{2}S_{2}^{4}S_{3}^{6}\ldots S_{k}^{2k}\geqslant (S_{0}S_{2})(S_{1}S_{3})^{2}(S_{2}S_{4})^{3}\ldots (S_{k-1}S_{k+1})^{k}} se simplifie en S k k + 1 ⩾ S k + 1 k , {\displaystyle S_{k}^{k+1}\geqslant S_{k+1}^{k},} qui équivaut à S k 1 / k ⩾ S k + 1 1 / ( k + 1 ) . {\displaystyle S_{k}^{1/k}\geqslant S_{k+1}^{1/(k+1)}.} Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.

Références

  1. ↑ Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 294-296
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Maclaurin's inequality » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Piotr Biler et Alfred Witkowski, Problems in Mathematical Analysis, New York/Basel, CRC Press, , 227 p. (ISBN 0-8247-8312-3, lire en ligne), p. 5
  • (en) Colin Mac Laurin, « A second letter from Mr. Colin Mc Laurin, […] to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra […] », Phil. Trans., vol. 36, nos 407-416,‎ , p. 59-96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)

Articles connexes

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