Inégalité de Boole

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité qu'au moins l'un des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A₁, A₂, A₃, …, on a :

\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mathbb {P} \left(A_{n}\right).

Démonstration

Première démonstration.

On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie $(A_{1},\dots ,A_{m})$ d'évènements.

Il s'agit de prouver que $\mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$ .

L'inégalité est vraie au rang $m=1$ . On la suppose vraie à un rang $m$ et l'on considère une famille $(A_{1},\dots ,A_{m+1})$ de $m+1$ évènements.

Soit $E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}$ : $\mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$ (hypothèse de récurrence).

Alors : $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})$ ,

d'où : $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})$ .

On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable $(A_{n})_{n\geq 1}$ d'évènements.

Pour tout entier strictement positif $n$ , soit $E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$ ; alors $\mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})$ .

L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur $n$ ; en effet, $\bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}$ et pour tout $n$ , $E_{n}\subset E_{n+1}$ , donc $\lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)$ .

Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).

On pose $\ A'_{1}=A_{1}$ et pour tout $n\geq 2$ , $A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})$ .

Alors $\bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}$ , et les évènements $A'_{1},A'_{2},\dots$ sont deux à deux incompatibles ;
en outre, pour tout $n,A'_{n}\subset A_{n}$ , donc $\mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})$ (croissance de $\mathbb {P}$ ).

De tout ceci, il résulte : $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})$ .

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B₁, B₂, B₃, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des B_n).

Inégalités de Bonferroni

Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Inégalités de Bonferroni — Posons :

S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),

S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),

et pour 2 < k ≤ n,

S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ k ≤ n

\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ k ≤ n

\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.