Identité hypergéométrique

Une identité hypergéométrique est un résultat sur des sommes de termes d'une série hypergéométrique. De telles identités apparaissent fréquemment dans des problèmes de combinatoire et d'analyse d'algorithme. Les premières identités ont été trouvées à la main par des mathématiciens comme Carl Friedrich Gauss ou Ernst Kummer. Maintenant, l'objectif est d'obtenir des algorithmes qui automatisent les démonstrations de ces égalités.

La liste des identités hypergéométriques est parfois appelée liste de Bailey suite à l'ouvrage de Wilfrid Norman Bailey (en)[1].

Une technique de certification automatique de ces identités utilise des couples de fonctions appelés paires de Wilf-Zeilberger[2],[3]; un exemple d’identité hypergéométrique obtenue par cette méthode est :

∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n k ) ( 2 k k ) 4 n − k = ( 2 n n ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}={2n \choose n}.}

Automatisation de la preuve

La preuve automatisée se fait en deux étapes :

  • trouver une expression simple de la somme hypergéométrique, dans le meilleur des cas une forme close ;
  • montrer rigoureusement (par des suites de transformations élémentaires) que cette expression est bien égale à la somme initiale.

Pour chaque type de somme hypergéométrique, il existe de nombreuses méthodes pour trouver une expression simple. Certaines de ces méthodes offrent démontrent l'égalité. On peut citer :

  • pour les sommes définies : la méthode de sœur Celine, mise en valeur par Doron Zeilberger et Herbert Wilf ;
  • pour les sommes indéfinies : l'algorithme de Gosper.

Les méthodes employées font souvent appel à des résultats du calcul formel.

Exemples d'identités hypergéométriques

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Bibliographie

  • Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik (trad. Alain Denise), Mathématiques concrètes : Fondations pour l'informatique, Paris, Vuibert, , deuxième éd., xiv+688 (ISBN 978-2-7117-4824-2). Plus particulièrement, la section 5.5, intitulée Fonctions hypergéométriques.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hypergeometric identities » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics » (no 32), .
  2. ↑ (en) Akalu Tefera, « What Is... a Wilf-Zeilberger Pair? », Notices of the AMS,‎ (lire en ligne)
  3. ↑ (en) Herbert Wilf et Doron Zeilberger, « Rational function certify combinatorial identities », Journal of the American Mathematical Society, vol. 3,‎ , p. 147-158

Voir aussi

Article connexe

Théorème hypergéométrique de Gauss

Liens externes

  • (en) Marko Petkovšek (en), Herbert Wilf et Doron Zeilberger, A = B. Il s'agit d'un ouvrage explicitant un algorithme pour trouver une relation de récurrence à partir d'une identité. Faisant appel à un logiciel de calcul formel, tels Maple et Mathematica, l'algorithme a mis fin au besoin de tenir un catalogue d'identités et de relations de récurrence.
  • Séries hypergéométriques : de Sœur Celine à Zeilberger et Petkovsek [PDF] par D. Monasse, Lycée Louis-le-Grand, 1999
  • (en) Special Functions sur exampleproblems.com
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