Formule de Cauchy pour l'intégration successive

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La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notablement généralisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire

Soit f une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de f est :

x ↦ ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n − 1 f ( σ n ) d σ n ⋯ d σ 2 d σ 1 {\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}} .

Sa version condensée en une seule intégrale est :

f [ n ] ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − y ) n − 1 f ( y ) d y {\displaystyle f^{[n]}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)\,\mathrm {d} y} .

Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.

Quelques calculs (Beardon 2000) nous amènent à :

d d x f [ n ] ( x ) = f [ n − 1 ] ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{[n]}(x)=f^{[n-1]}(x)} .

De plus, f [n] s'annule en a. Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de f spécifiée initialement.

Généralisations

La formule de Cauchy se généralise aux paramètres non entiers par l'intégrale de Riemann-Liouville, de n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } aux complexes α ∈ C ,   ℜ ( α ) > 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0} , avec :

f [ α ] ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ a x ( x − y ) α − 1 f ( y ) d y {\displaystyle f^{[\alpha ]}(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{\alpha -1}f(y)\,\mathrm {d} y}

avec Γ la fonction Gamma d'Euler. Les deux formules coïncident sur la demi-droite des réels positifs.

On peut étendre la formule de Cauchy et l'intégrale de Riemann-Liouville à un espace de dimension arbitraire par le potentiel de Riesz.

Applications

En analyse fractionnaire, ces formules peuvent être utilisées pour construire un opérateur intégro-différentiel, qui permet de dériver ou intégrant à un ordre fractionnaire. La dérivation à un ordre fractionnel peut être réaliser en intégrant d'abord à un ordre fractionnel, puis en dérivant le résultat.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cauchy formula for repeated integration » (voir la liste des auteurs), dont les deux références étaient :
    • (en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall, , 461 p. (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193 ;
    • (en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge, .
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