Fonction zêta de Lerch

En mathématiques, la fonction zêta de Lerch, ou fonction zêta de Hurwitz-Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme, nommée d'après le mathématicien Mathias Lerch. Elle est définie comme somme d'une série comme suit :

L ( λ , α , s ) = ∑ n = 0 ∞ e 2 π i λ n ( n + α ) s {\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}} .

La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule :

Φ ( z , s , α ) = ∑ n = 0 ∞ z n ( n + α ) s {\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}

par l'identité :

Φ ( e 2 π i λ , s , α ) = L ( λ , α , s ) {\displaystyle \Phi (\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)} .

Cas particuliers

La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par :

ζ ( s , α ) = L ( 0 , α , s ) = Φ ( 1 , s , α ) {\displaystyle \zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha )} .

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par :

Li s ⁡ ( z ) = z Φ ( z , s , 1 ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1)} .

La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

ζ ( s ) = ζ ( s , 1 ) = Li s ⁡ ( 1 ) = Φ ( 1 , s , 1 ) {\displaystyle \zeta (s)=\zeta (s,1)=\operatorname {Li} _{s}(1)=\Phi (1,s,1)} .

La fonction êta de Dirichlet est aussi un cas particulier, donné par :

η ( s ) = Φ ( − 1 , s , 1 ) = − Li s ⁡ ( − 1 ) {\displaystyle \eta (s)=\Phi (-1,s,1)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)} .

Enfin, la fonction chi de Legendre admet l'expression :

χ n ( z ) = 2 − n z Φ ( z 2 , n , 1 / 2 ) {\displaystyle \chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2)} .

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Ramunas Garunkstis, « Approximation of the Lerch zeta-function », Lith. Math. J. (nl), vol. 44,‎ , p. 140-144 (lire en ligne)
  • Matyáš Lerch, « Note sur la fonction K ( w , x , s ) = ∑ k = 0 ∞ e 2 k π i x ( w + k ) s {\displaystyle {\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{2k\pi ix}}{\left({w+k}\right)^{s}}}}  », Acta Math., vol. 11,‎ , p. 19-24 (lire en ligne)
  • (en) M. Jackson, « On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series 2 ψ 2 {\displaystyle _{2}\psi _{2}}  », J. London Math. Soc., vol. 25,‎ , p. 189-196 (DOI 10.1112/jlms/s1-25.3.189)

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Lerch Transcendent », sur MathWorld
  • (en) S. V. Aksenov et U. D. Jentschura, « C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent », sur aksenov.freeshell.org,
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