Fonction êta de Dedekind

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La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Pour un tel nombre complexe τ {\displaystyle \tau } , on pose q = e 2 i π τ {\displaystyle q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }} et la fonction êta est alors : η ( τ ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) {\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})} , en posant q 1 / 24 = exp ⁡ ( i π τ 12 ) {\displaystyle q^{1/24}=\exp \left({\frac {{\rm {i}}\pi \tau }{12}}\right)} .

Propriétés

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles

η ( τ + 1 ) = exp ⁡ ( i π 12 ) η ( τ ) {\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp \left({\frac {{\rm {i}}\pi }{12}}\right)\eta (\tau )}

et

η ( − 1 τ ) = τ i η ( τ ) {\displaystyle \eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)={\frac {\sqrt {\tau }}{\sqrt {i}}}\eta (\tau )} .

La seconde se généralise : soient a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} des entiers tels que a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec c > 0 {\displaystyle c>0} . Alors[1]

η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) c τ + d i η ( τ ) {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d){\frac {\sqrt {c\tau +d}}{\sqrt {\rm {i}}}}\eta (\tau )}

où

ϵ ( a , b , c , d ) = exp ⁡ { i π ( a + d 12 c + s ( − d , c ) ) } {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \left\{{\rm {i}}\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)\right\}}

et s {\displaystyle s} est la fonction somme de Dedekind :

s ( h , k ) = ∑ 1 ≤ n < k n k ( h n k − ⌊ h n k ⌋ − 1 2 ) {\displaystyle s(h,k)=\sum _{1\leq n<k}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)} .

À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires.

En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass, forme modulaire de poids 12, peut être défini comme

Δ ( τ ) = ( 2 π ) 12 η ( τ ) 24 {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}} (certains auteurs omettent le facteur ( 2 π ) 12 {\displaystyle (2\pi )^{12}} , pour que la série soit à coefficients entiers).

La fonction d'Euler

ϕ ( q ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = q − 1 / 24 η ( τ ) {\displaystyle \phi (q)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)=q^{-1/24}\eta (\tau )}

a un développement en série donné par l'identité d'Euler :

ϕ ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( 3 n 2 − n ) / 2 {\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}} .

Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

Notes et références

  1. ↑ Apostol 1990, p. 52, th. 3.4.
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dedekind eta function » (voir la liste des auteurs).
  • Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, [détail des éditions]
  • (en) Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York, Springer-Verlag, , 204 p. (ISBN 0-387-97127-0), « The Dedekind eta function »

Voir aussi

Articles connexes

  • Identités de Macdonald (en)

Liens externes

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