Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace H2(𝔻)

Définition

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :

∀ z ∈ D f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ f ^ ( n )   z n avec f ^ ( n ) := f ( n ) ( 0 ) n ! . {\displaystyle \forall z\in \mathbb {D} \qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}\qquad {\text{avec}}\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.}

On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H2(𝔻) si la suite ( f ^ ( n ) ) {\displaystyle ({\hat {f}}(n))} appartient à ℓ2. Autrement dit, on a :

H 2 ( D ) = { f ∈ H o l ( D )   |   ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | 2 < + ∞ } {\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )=\left\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} )~\left|~\sum _{n=0}^{+\infty }\,|{\hat {f}}(n)|^{2}<+\infty \right.\right\rbrace }

On définit alors la norme de f par :

‖ f ‖ 2 := ( ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | 2 ) 1 2 . {\displaystyle \|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}

Exemple

La fonction z ↦ log ⁡ ( 1 − z ) = − ∑ n = 1 ∞ z n n {\displaystyle z\mapsto \log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}} appartient à H2(𝔻), par convergence de la série ∑ n ≥ 1 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}} (série de Riemann convergente).

Une autre expression de la norme

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1, on définit :

M 2 ( f , r ) := ( 1 2 π ∫ − π π | f ( r e i t ) | 2   d t ) 1 2 . {\displaystyle M_{2}(f,r):=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t\right)^{\frac {1}{2}}.}
  • la fonction r ↦ M2(f, r) est croissante sur [0, 1[.
  • f ∈ H2(𝔻) si et seulement si lim r → 1 − M 2 ( f , r ) < + ∞ {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}M_{2}(f,r)<+\infty } et l'on a :
‖ f ‖ 2 2 = lim r → 1 − 1 2 π ∫ − π π | f ( r e i t ) | 2   d t = sup 0 ≤ r < 1 1 2 π ∫ − π π | f ( r e i t ) | 2   d t . {\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\lim _{r\to 1^{-}}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t}=\sup _{0\leq r<1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t.}
Démonstration
  • Posons z = r e i t {\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}} où r ∈ [ 0 , 1 [ {\displaystyle r\in [0,1[} et t ∈ [ − π , π ] {\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]} . On a :
    f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ f ^ ( n ) z n  donc  f ( r e i t ) = ∑ n = 0 + ∞ f ^ ( n ) r n e i n t {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}
    Alors, par la formule de Parseval, on a :
    M 2 ( f , r ) 2 = ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | 2 r 2 n {\displaystyle M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}}
    Cette formule prouve la première assertion.
  • Si f ∈ H2(𝔻), la formule précédente montre que M 2 ( f , . ) {\displaystyle M_{2}(f,.)} est une fonction croissante, bornée donc lim r → 1 − M 2 ( f , r ) {\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}} existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à ‖ f ‖ 2 {\displaystyle \|f\|_{2}} . Réciproquement si lim r → 1 − M 2 ( f , r ) = M < + ∞ {\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }} , pour chaque N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} , on a, par croissance de M 2 ( f , r ) {\displaystyle M_{2}(f,r)}  :
    ∑ n = 0 N | f ^ ( n ) | 2 r 2 n ≤ ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | 2 r 2 n ≤ M 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}}
    En passant à la limite quand r {\displaystyle r} tend vers 1 − {\displaystyle 1^{-}} puis quand N {\displaystyle N} tend vers + ∞ {\displaystyle +\infty } , on obtient la deuxième assertion.

Quelques propriétés de l'espace H2(𝔻)

  • L'espace de Hardy H2(𝔻) est isométriquement isomorphe (en tant qu'espace vectoriel normé) à ℓ2. C'est donc un espace de Hilbert.
Démonstration

On considère l'application T : H 2 ( D ) → ℓ 2 {\displaystyle T:H^{2}(\mathbb {D} )\rightarrow \ell _{2}} définie par T ( f ) = ( f ^ ( n ) ) {\displaystyle T(f)=({\hat {f}}(n))} . Celle-ci est bien définie par définition de H2(𝔻), elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer qu'elle est surjective.

Soit ( a n ) ∈ ℓ 2 {\displaystyle (a_{n})\in \ell _{2}} , ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} est bornée donc la série entière f définie par f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ a n z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}} a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en particulier f ∈ H o l ( D ) {\displaystyle f\in Hol(\mathbb {D} )} et T ( f ) = ( a n ) {\displaystyle T(f)=(a_{n})} . T {\displaystyle T} est donc bien surjective.

  • Pour tout f ∈ H2(𝔻) et pour tout z dans 𝔻, on a :
| f ( z ) | ≤ ‖ f ‖ 2 1 − | z | 2 . {\displaystyle \vert f(z)\vert \leq {\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.}
Démonstration

On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de f en 0. On a alors, pour tout z dans 𝔻 :

| f ( z ) | ≤ ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | | z | n ≤ ‖ f ‖ 2 ( ∑ n = 0 + ∞ | z | 2 n ) 1 2 = ‖ f ‖ 2 1 − | z | 2 {\displaystyle \vert f(z)\vert \leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert \vert z\vert ^{n}\leq \|f\|_{2}\,{(\sum _{n=0}^{+\infty }\vert z\vert ^{2n})}^{\frac {1}{2}}={\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}} .

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H2(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

1 1 − | z | 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.}

En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

  • La topologie faible de la boule unité de H2(𝔻) coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) qui converge en norme vers f alors (fn) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général

Définition

Pour 0 < p < + ∞, on définit l'espace de Hardy Hp(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :

sup 0 < r < 1 ( ∫ 0 2 π | f ( r e i t ) | p   d t 2 π ) < + ∞ . {\displaystyle \sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)<+\infty .}

On définit alors :

‖ f ‖ p = sup 0 < r < 1 ( ∫ 0 2 π | f ( r e i t ) | p   d t 2 π ) 1 p . {\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.}

Quelques propriétés

  • Pour p ≥ 1, Hp(𝔻) est un espace de Banach.
  • Soit f ∈ Hp(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) :
    f ∗ ( e i t ) := lim r → 1 − f ( r e i t ) {\displaystyle f^{*}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}):=\lim _{r\to 1^{-}}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})}
    existe et l'application f ↦ f* est une isométrie de Hp(𝔻) sur le sous-espace H ∗ p {\displaystyle H_{*}^{p}} de L p ( [ 0 , 2 π ] , d t 2 π ) {\displaystyle L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)} où :
    H ∗ p = { f ∈ L p ( [ 0 , 2 π ] , d t 2 π )   |   ∀ n ≤ − 1 ,   f ^ ( n ) = 0 } . {\displaystyle H_{*}^{p}=\left\{\left.f\in L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)~\right|~\forall n\leq -1,~{\hat {f}}(n)=0\right\}.}
  • On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f ∈ Hp(𝔻), on a :
‖ f ‖ p = lim r → 1 − ( ∫ 0 2 π | f ( r e i t ) | p d t 2 π ) 1 p . {\displaystyle \|f\|_{p}=\lim _{r\to 1^{-}}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.}

Factorisation de Beurling

Voir la section correspondante de l'article anglophone.
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Bibliographie

  • (en) Peter L. Duren, Theory of Hp Spaces, Dover, , 292 p. (ISBN 978-0-486-41184-2, lire en ligne)
  • Nikolaï Nikolski, Éléments d'analyse avancée T.1 - Espaces de Hardy, Belin, , (ISBN 978-2701163482)

Article connexe

Noyau de Poisson

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