DTIME

En théorie de la complexité, DTIME (ou TIME) désigne une famille de classes de complexité caractérisée par leur complexité en temps sur une machine de Turing déterministe.

Plus précisément, ${\displaystyle {\mathsf {DTIME}}(f(n))}$ est la classe des problèmes de décision qui, pour une entrée de taille ${\displaystyle n}$, peuvent être résolus en temps ${\displaystyle {\mathcal {O}}(f(n))}$ par une machine de Turing déterministe.

Définitions

La classe P des problèmes de décision décidables par une machine de Turing déterministe en temps polynomial par rapport à la taille de l'entrée peut être définie comme :

${\displaystyle {\mathsf {P}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DTIME}}(n^{k})}$

De même, la classe EXPTIME des problèmes de décision décidable en temps exponentiel est définie comme :

${\displaystyle {\mathsf {EXPTIME}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DTIME}}\left(2^{n^{k}}\right)}$

Hiérarchie en temps

Informellement, le théorème de hiérarchie en temps déterministe indique que disposer de plus de temps permet de décider davantage de problèmes. Plus précisément, pour toutes fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ telles que ${\displaystyle f\log f=o(g)}$ et ${\displaystyle g}$ est constructible en temps, l'inclusion stricte suivante est vérifiée :

${\displaystyle {\mathsf {DTIME}}(f(n))\subsetneq {\mathsf {DTIME}}(g(n))}$

Liens avec d'autres classes

Les classes DTIME sont reliées aux classes de complexité en espace DSPACE et NSPACE par les inclusions suivantes, pour toute fonction ${\displaystyle f}$ constructible en espace :

${\displaystyle {\mathsf {DTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{{\mathcal {O}}(f(n))}\right)}$

Bibliographie

• (en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity: A Modern Approach, Cambridge University Press, 20 avril 2009, 579 p. (ISBN 978-0-521-42426-4, lire en ligne). 
• Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Éditions Ellipses, 22 avril 2014, 432 p. (ISBN 978-2-729-88692-9, lire en ligne). 

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