Constante de Rydberg

La constante de Rydberg, nommée en l'honneur du physicien Johannes Rydberg, est une constante physique découverte en mesurant le spectre de l'hydrogène. Son unité est le mètre à la puissance moins un (m^-1).

Elle est définie à partir des résultats d'Anders Jonas Ångström et Johann Jakob Balmer. Chaque élément chimique a sa propre constante de Rydberg, qui peut être obtenue à partir de la constante ${\displaystyle R_{\infty }}$ de Rydberg.

Constante « infinie » de Rydberg

La constante « infinie » de Rydberg est (d'après les résultats de 2014 de CODATA)^[1]:

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }\alpha ^{2}c}{2h}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1{,}097\,373\,156\,850\,8(65)\times 10^{7}\;{\rm {m^{-1}}}}$

où ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ est la masse de l'électron, e sa charge, ${\displaystyle \alpha }$ la constante de structure fine, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ la permittivité du vide, h la constante de Planck et c la vitesse de la lumière.

Elle est également convertie en une constante énergétique :

${\displaystyle R_{\mathrm {y} }=h\,c\,R_{\infty }=13{,}605\,693\,009(84)\;{\rm {eV}}}$

Cette constante est souvent utilisée en physique atomique, car elle correspond à l'énergie d'ionisation d'un système hydrogénoïde dans lequel la masse du noyau est considérée comme infinie. Dans l'atome d'hydrogène, la masse de l'électron entraîne une petite correction, et l'énergie d'ionisation est donnée par :

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {R_{\mathrm {y} }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {p} }}}}}}$, où ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle m_{\mathrm {p} }}$ sont les masses de l'électron et du proton.

En inversant la constante de Rydberg, on obtient :

${\displaystyle R_{\infty }^{-1}=2\,\lambda _{\mathrm {e} }\alpha ^{-2}}$

avec :

• la longueur d'onde de Compton pour l'électron, ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }}$
• la constante de structure fine, ${\displaystyle \alpha }$

La constante de Rydberg peut aussi s'écrire

${\displaystyle 1\ R_{\mathrm {y} }\equiv hcR_{\infty }\equiv {\frac {1}{2}}\ \alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c^{2}}$

Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle confirme par :

${\displaystyle {\frac {[M]\;[M^{2}L^{6}T^{-8}Q^{-4}T^{4}]\;[Q^{4}]}{[M^{3}L^{6}T^{-3}]\;[LT^{-1}]}}}$

Où l'on reconnait dans l'ordre au numérateur : la masse de l'électron, le carré de l'inverse de la permittivité et la charge élémentaire en puissance 4 ; et au dénominateur : la constante de Planck en puissance 3 et la célérité de la lumière. Les masses, les longueurs et les charges Q s'annulent et il ne reste à simplifier que la dimension propre au temps :

${\displaystyle {\frac {T^{-8}T^{4}}{T^{-3}LT^{-1}}}}$

Après annulation du temps [T], il ne reste qu'une dimension en 1/r comme attendu pour cette constante : ${\displaystyle [L^{-1}]}$

On doit rappeler cependant que la permittivité dans le vide ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est liée à ${\displaystyle \mu _{0}}$ par la constante ${\displaystyle c^{2}}$. Or ${\displaystyle \mu _{0}}$ est normalisé à 10^-7 (anciennement 1 dans le système CGS). La relation est :

${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}\,c^{2}}}}$

La constante notée « infinie » apparaît dans la formule qui donne la constante de Rydberg pour un certain atome, de numéro atomique Z, avec un électron de masse inerte ${\displaystyle m_{e}}$ et dont la masse du noyau est ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle R_{M}={\frac {Z^{2}R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}}}$

Intérêt métrologique

Comme la formule donnant la constante de Rydberg ne présente pas moins de cinq autres constantes physiques :

• la charge élémentaire ${\displaystyle e}$ ;
• la masse inerte de l'électron ${\displaystyle m_{e}}$ ;
• la permittivité du vide ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ;
• la constante de Planck ${\displaystyle h}$
• et la vitesse de la lumière dans le vide ${\displaystyle c}$ ;

sa mesure précise est un avantage indéniable en métrologie ; or c'est une des constantes physiques les mieux déterminées, parce qu'obtenue à partir de la spectroscopie des raies extrêmement fines. La mesure précise de la constante de Rydberg sert à l'évaluation des cinq autres constantes, dans les mesures dites CODATA.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

• [Gyllenbok 2018] (en) Jan Gyllenbok, Encyclopaedia of historical metrology, weights, and measures [« Encyclopédie de métrologie historique, des poids, et
  des mesures »], t. 1^er, Bâle, Birkhäuser et Cham, Springer, coll. « Science networks / Historical studies » (n^o 56), 25 avr. 2018, 1^re éd., 1 vol., XIX-677,
  ill., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-3-319-57596-4 et 978-3-030-09624-3, EAN 9783319575964, OCLC 1041128686, BNF 45785961, DOI 10.1007/978-3-319-57598-8, SUDOC 22759147X, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Rydberg constant, p. 198-199.
• (en) Jonathan Law et Richard Rennie, A Dictionary of Physics, Oxford University Press, 2015 (ISBN 9780191783036, lire en ligne)
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Rydberg (constante de), p. 661, col. 1.

Articles connexes

• Formule de Rydberg
• Johannes Rydberg
• Modèle de Bohr
• Spectre de l'hydrogène

Liens externes

• « L'expression de la constante de Rydberg », sur Unisciel.

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