Constante de Niven

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la constante de Niven, portant le nom du mathématicien Ivan Niven, est la moyenne du plus grand exposant apparaissant dans la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier n. Plus précisément, on définit H(1) = 1 et H ( n ) = max p | n v p ( n ) {\displaystyle H(n)=\max _{p|n}v_{p}(n)} le plus grand exposant dans la décomposition en produit de facteurs premiers de n > 1 ; la constante de Niven est définie par

lim n → ∞ 1 n ∑ j = 1 n H ( j ) = 1 + ∑ k = 2 ∞ ( 1 − 1 ζ ( k ) ) = 1 , 705211 … {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{\zeta (k)}}\right)=1,705211\dots }

où ζ(k) est la fonction zêta de Riemann au point k.[1]

Niven a montré dans le même article que

∑ j = 1 n h ( j ) = n + c n + o ( n ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})}

où h(1) = 1, h(n) le plus petit exposant dans la décomposition en produit de facteurs premiers de n > 1, et que la constante c est donnée par

c = ζ ( 3 2 ) ζ ( 3 ) , {\displaystyle c={\frac {\zeta ({\frac {3}{2}})}{\zeta (3)}},}

et que par conséquent

lim n → ∞ 1 n ∑ j = 1 n h ( j ) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.}

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Niven's constant » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Ivan M. Niven, « Averages of Exponents in Factoring Integers », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 22, no 2,‎ , p. 356–360 (DOI 10.2307/2037055 Accès libre, JSTOR 2037055)

Lecture complémentaire

  • Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge University Press, 2003

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Constante de Niven », sur MathWorld
  • suite A033150 de l'OEIS, développement décimal de la constante de Niven
  • icône décorative Portail des mathématiques