Conjecture de Milnor

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Pour l’article homonyme, voir Conjecture de Milnor (théorie des nœuds).

En mathématiques, la conjecture de Milnor[1] dit que pour tout corps F de caractéristique différente de 2, la K-théorie de Milnor modulo 2 de F est isomorphe à sa cohomologie étale (ou ce qui est équivalent : à sa cohomologie de Galois i.e. à la cohomologie de son groupe de Galois absolu, profini), à coefficients dans Z/2Z. Après être restée ouverte pendant environ vingt ans, cette conjecture a été démontrée en 1996 par Vladimir Voïevodski[2],[3],[4], qui a reçu pour cela une médaille Fields en 2002, et qui a contribué à la démonstration, en 2009, de sa généralisation : la conjecture de Bloch-Kato (en).

Énoncé du théorème

Soit F un corps de caractéristique différente de 2. Pour tout entier naturel n, il existe un isomorphisme

K n M ( F ) / 2 ≅ H e ´ t n ( F , Z / 2 Z ) . {\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\cong H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ).}

À propos de la preuve

Vladimir Voïevodski a démontré ce théorème en utilisant plusieurs idées développées par lui-même, Alexander Merkurjev, Andrei Suslin, Markus Rost, Fabien Morel, Eric Friedlander et d'autres, incluant sa toute nouvelle formulation de la cohomologie motivique (une sorte de substitut de la cohomologie singulière pour les variétés algébriques) et une version motivique de l'algèbre de Steenrod (en).

Généralisation

La preuve de la conjecture de Bloch-Kato, qui est l'analogue pour les nombres premiers différents de 2, a été achevée en 2009 grâce aux travaux de Voïevodski et Markus Rost. La conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) s'en déduit.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milnor conjecture » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) John Willard Milnor, « Algebraic K-theory and quadratic forms », Inventiones Mathematicae, vol. 9, no 4,‎ , p. 318-344 (DOI 10.1007/BF01425486).
  2. ↑ (en) Vladimir Voevodsky, « The Milnor Conjecture », prépublication,‎ (lire en ligne).
  3. ↑ (en) Vladimir Voïevodski, « Reduced power operations in motivic cohomology », Publ. Math. IHES, no 98,‎ , p. 1-57 (lire en ligne).
  4. ↑ (en) Vladimir Voïevodski, « Motivic cohomology with Z/2-coefficients », Publ. Math. IHES, no 98,‎ , p. 59-104 (lire en ligne).

Bibliographie

  • Bruno Kahn, « La conjecture de Milnor », Sém. Bourbaki, vol. 39, no 834,‎ , p. 379-418 (lire en ligne)
  • (en) Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky et Charles A. Weibel (en), Lecture Notes on Motivic Cohomology, AMS, coll. « Clay Mathematics Monographs » (no 2), (ISBN 978-0-8218-3847-1, lire en ligne)
  • (en) Charles Weibel, « The norm residue isomorphism theorem », J. Topology, vol. 2,‎ , p. 346-372 (lire en ligne)
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