Arc sinus

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Fonction arc sinus

Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Notation	${\displaystyle \arcsin(x)}$
Réciproque	${\displaystyle \sin(x)}$ sur ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$
Dérivée	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
Primitives	${\displaystyle x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[−1, 1]
Ensemble image	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$
Parité	impaire

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En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin^[1] ou Asin en notation française, sin⁻¹, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [–π/2, π/2]. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.

On a donc par définition :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}\theta =\arcsin x\\x\in \lbrack -1,1]\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right.}$

Courbe représentative

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Relations avec les fonctions circulaires directes

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}$ pour ${\displaystyle x\in \lbrack -1,1]}$
• ${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ pour ${\displaystyle x\in \lbrack -1,1]}$
• ${\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ pour ${\displaystyle x\in ]-1,1[}$

Par contre, ${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}$ seulement pour ${\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}$

La formule générale est ${\displaystyle \arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )}$ où ${\displaystyle k}$ est la partie entière de ${\displaystyle {\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$.

Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie ${\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation ${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Développement en série entière

Si ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

${\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$.

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

${\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$.

Relation entre arc sinus et arc cosinus

Pour tout réel x entre –1 et 1 : ${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$.

Extension aux complexes

De la relation valable pour tout z complexe : sin z = –i sinh(iz), on déduit

${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\operatorname {arsinh} ({\rm {i}}z)}$.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe : ${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$, valable pour ${\displaystyle z\in {\mathbb {C}}\setminus ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [}$.

Le développement en série

${\displaystyle \arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}}$

est alors valable pour tout z dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

Référence

Voir aussi

• Sinus hyperbolique réciproque

• Intégrale de Wallis (pour le développement de ${\displaystyle {\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$)

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Sine », sur MathWorld
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83

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