Approximation de Boussinesq

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À ne pas confondre avec l'hypothèse de Boussinesq, concernant la turbulence

L'approximation de Boussinesq en mécanique des fluides désigne une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles à surface libre dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l'absence d'équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l'Université de Lille et à l'Institut industriel du Nord (École centrale de Lille)[1].

Cette approximation est à la base de nombreux développements, par exemple les écoulements rapidement variés[2] (par exemple un déversoir de canal), la circulation océanique et les problèmes d'ondes à la surface des océans lorsque celui-ci est stratifié[3], certains mouvements dans l'atmosphère associés à une variation de température comme les vents catabatiques et les problèmes de convection libre[4].

Les problèmes où l'équilibre hydrostatique est conservé (écoulements en eau peu profonde) relèvent des équations de Barré de Saint-Venant.

Équations de Navier-Stokes pour une masse volumique variable

On suppose que le milieu présente de faibles variations de température T. Par suite les variations de masse volumique ρ autour de la valeur nominale ρ0 sont également faibles. De plus on peut confondre les capacités thermiques massiques à volume constant CV et à pression constante Cp et supposer ces valeurs indépendantes de la température, de même que la conductivité thermique.

Avec ces hypothèses les équations de Navier-Stokes s'écrivent :

  • continuité
D ρ D t + ρ ∇ ⋅ V = 0 {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}
  • conservation de la quantité de mouvement
ρ D V D t = − ∇ p + μ ∇ 2 V + ρ g {\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\mathbf {\nabla } p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho \mathbf {g} }
∂ T ∂ t + V ⋅ ∇ T − β ∇ 2 T = 0 , β = λ ρ C p {\displaystyle {\dfrac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T-\beta \,\nabla ^{2}T=0\,,\;\;\;\;\;\beta ={\frac {\lambda }{\rho C_{p}}}}

où p est la pression, μ la viscosité dynamique du fluide, V la vitesse, g la gravité, λ la conductivité thermique et β la diffusivité thermique.

Démonstration

L'équation de conservation de l'énergie interne massique e s'écrit pour un écoulement incompressible

ρ ∂ e ∂ t + ρ V ⋅ ∇ e = − ∇ ⋅ ( λ ∇ T ) {\displaystyle \rho {\dfrac {\partial e}{\partial t}}+\rho \mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } e=-\mathbf {\nabla } \cdot (\lambda \nabla T)}
  • La chaleur spécifique CV = Cp est constante
∂ e ∂ t = C p ∂ T ∂ t {\displaystyle {\dfrac {\partial e}{\partial t}}=C_{p}{\dfrac {\partial T}{\partial t}}}

et

V ⋅ ∇ e = C p V ⋅ ∇ T {\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } e=C_{p}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T}
  • La conductivité λ est constante
∇ ⋅ ( λ ∇ T ) = λ ∇ 2 T {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\lambda \nabla T)=\lambda \nabla ^{2}T}

Approximation de Boussinesq

Équation de continuité

Supposons une variation de masse volumique δρ crée par un phénomène quelconque

ρ = ρ 0 + δ ρ {\displaystyle \rho =\rho _{0}+\delta \rho }

L'équation de continuité devient

0 = D D t ( ρ 0 + δ ρ ) + ( ρ 0 + δ ρ ) ∇ ⋅ V = D D t δ ρ + δ ρ ∇ ⋅ V ⏟ = 0 + ρ 0 ∇ ⋅ V {\displaystyle {\begin{array}{lcl}0&=&{\frac {D}{Dt}}(\rho _{0}+\delta \rho )+(\rho _{0}+\delta \rho )\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \\[0.6em]&=&\underbrace {{\frac {D}{Dt}}\delta \rho +\delta \rho \,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} } _{=0}+\rho _{0}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \end{array}}}

soit, comme pour un milieu à masse volumique constante

∇ ⋅ V = 0 {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}

Équation de quantité de mouvement

Pour l'équation de quantité de mouvement on suppose une faible variation de masse volumique

| δ ρ | << ρ 0 {\displaystyle |\delta \rho |<<\rho _{0}}

alors

ρ 0 D V D t = − ∇ p + μ ∇ 2 V + ρ g {\displaystyle \rho _{0}{\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\mathbf {\nabla } p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho \mathbf {g} }

Par ailleurs g dérive d'un potentiel (par exemple Φ = g z à l'échelle du laboratoire)

g = − ∇ ϕ {\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi }

donc

− ∇ p + ρ g = − ∇ ( p + ρ 0 ϕ ) + g δ ρ {\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =-\nabla (p+\rho _{0}\phi )+\mathbf {g} \delta \rho }

La variation de masse volumique est elle-même reliée à la variation de température par

δ ρ = − α ρ 0 δ T {\displaystyle \delta \rho =-\alpha \rho _{0}\delta T}

où α est le coefficient de dilatation thermique. Soit finalement

ρ 0 D V D t = − ∇ ( p + ρ 0 ϕ ) + μ ∇ 2 V + ρ 0 f {\displaystyle \rho _{0}{\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\nabla (p+\rho _{0}\phi )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho _{0}\mathbf {f} }

où on a introduit la flottabilité

f = − g α δ T {\displaystyle \mathbf {f} =-\mathbf {g} \alpha \,\delta T}

Équation de l'énergie

On écrit

T = T 0 + δ T {\displaystyle T=T_{0}+\delta T}

Cette expression est portée dans l'équation de l'énergie

∂ T 0 ∂ t + V ⋅ ∇ T 0 + β ∇ 2 T 0 ⏟ = 0 + ∂ δ T ∂ t + V ⋅ ∇ δ T + β ∇ 2 δ T = 0 {\displaystyle \underbrace {{\dfrac {\partial T_{0}}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T_{0}+\beta \,\nabla ^{2}T_{0}} _{=0}+{\dfrac {\partial \delta T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \delta T+\beta \,\nabla ^{2}\delta T=0}

Donc une équation sur la variation de température identique à celle sur la température elle-même.

Références

  1. ↑ J. Boussinesq, « Essai sur la théorie des eaux courantes », Comptes rendus de l'Académie des Sciences, vol. 23,‎ , p. 1-680 (lire en ligne)
  2. ↑ (en) Oscar Castro-Orgaz et Willi H. Hager, Non-Hydrostatic Free Surface Flows, Cham, Springer, , 690 p. (ISBN 978-3-319-47969-9, BNF 45566508, lire en ligne)
  3. ↑ (en) Geoffrey K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics, Cambridge University Press, (ISBN 978-1-1075-8841-7)
  4. ↑ (en) D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Clarendon Press, (ISBN 978-0-19-854493-7)

Voir aussi

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