Équation de Whitham

En physique mathématique l'équation de Whitham est une équation générale décrivant une onde de gravité dispersive non-linéaire de surface[1],[2]. Elle a été établie par Gerald Whitham en 1967[3].

Formulation

Elle s'écrit de la manière suivante :

∂ ∂ t s ( x , t ) + α s ( x , t ) ∂ ∂ x s ( x , t ) + ∫ R K ( x − ξ ) ∂ ∂ ξ s ( ξ , t ) d ξ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+\alpha s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)+\int _{\mathbb {R} }K(x-\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi }}s(\xi ,t)\;\mathrm {d} \xi =0.}
C'est une équation intégro-différentielle de la variable s ( x , t ) {\displaystyle s(x,t)} donnant l'altitude de la surface dans un référentiel quelconque. Le noyau K ( x − ξ ) {\displaystyle K(x-\xi )} est spécifique du problème traité.

Ondes de gravité sur une surface

  • Pour les ondes de surface telles que l'onde de Stokes de nombre d'onde k {\displaystyle k} on a[3] c ( k ) = g k tanh ⁡ ( k h ) {\textstyle c(k)={\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh(kh)}}} et α = 3 2 g h {\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}} où c ( ⋅ ) {\displaystyle c(\cdot )} est la vitesse de phase, g {\displaystyle g} la gravité et h {\displaystyle h} la profondeur du milieu au repos. Ainsi, K ( ω ) = F { c ( x ) } ( ω ) {\displaystyle K(\omega )={\mathcal {F}}\{c(x)\}(\omega )} , soit la transformée de Fourier de c {\displaystyle c} ⁣ ;
  • On obtient l'équation de Korteweg-de Vries à partir du développement de c ( k ) {\displaystyle c(k)} pour des ondes de grande longueur rapportée à l'amplitude k h ≪ 1 {\displaystyle kh\ll 1} , soit c ( k ) = g h ( 1 − 1 6 k 2 h 2 ) {\textstyle c(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2}\right)} , K ( x ) = g h ( δ ( x ) + 1 6 h 2 δ ′ ′ ( x ) ) {\textstyle K(x)={\sqrt {gh}}\left(\delta (x)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime }(x)\right)} où δ ( ⋅ ) {\displaystyle \delta (\cdot )} est la fonction de Dirac et α = 3 2 g h {\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}} .
  • Bengt Fornberg et Gerald Whitham ont étudié le noyau K ( ⋅ ) {\displaystyle K(\cdot )} adimentionné par g {\displaystyle g} et h {\displaystyle h} [4] avec c ( k ) = ν 2 ν 2 + k 2 {\displaystyle c(k)={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}}} , K ( x ) = ν 2 e − ν x {\displaystyle K(x)={\frac {\nu }{2}}\mathrm {e} ^{-\nu x}} et α = 3 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2}}} . La relation intégro-différentielle qui en résulte peut être réduite à l'équation aux dérivées partielles appelée équation de Fornberg–Whitham[4], soit
    ( ∂ 2 ∂ x 2 − ν 2 ) ( ∂ ∂ t s ( x , t ) + 3 2 s ( x , t ) ∂ ∂ x s ( x , t ) ) + ∂ ∂ x s ( x , t ) = 0. {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+{\frac {3}{2}}s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)=0.}
    Certaines solutions exhibent des discontinuités de la dérivée première (en anglais peakon) et d'ondes de choc (déferlement), ces dernières étant absentes des solutions de l'équation de Korteweg-de Vries[4],[5].

Références

  1. ↑ (en) L. Debnath, Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Springer, , 737 p. (ISBN 978-0-8176-4323-2, lire en ligne)
  2. ↑ (en) P. I. Naumkin et I .A. Shishmarev, Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of Waves, American Mathematical Society, , 289 p. (ISBN 978-0-8218-4573-8)
  3. ↑ a et b (en) Gerald B. Whitham, « Variational Methods and Applications to Water Waves », Proceedings of the Royal Society A, vol. 299, no 1456,‎ , p. 6–25
  4. ↑ a b et c (en) B. Fornberg et G. B. Whitham, « A Numerical and Theoretical Study of Certain Nonlinear Wave Phenomena », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 289, no 1361,‎ , p. 373–404
  5. ↑ (en) Gerald B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, (ISBN 978-0-471-35942-5, lire en ligne)
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Whitham equation » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

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