Onde orographique et rotors en aval d'une montagne. L’équation de Scorer est une relation mathématique développée par le météorologue britannique Richard Scorer pour décrire le comportement des ondes orographiques en aval d'un relief montagneux selon la stabilité de l'air et la force des vents. Cette équation, dérivée de la théorie des ondes de gravité atmosphérique , est très utile en météorologie des montagnes et en aviation pour calculer la magnitude de la turbulence et des rotors en aval de montagnes.
Définition Les ondes orographiques ont longtemps été incomprises de la part des pilotes d'avion à moteur. Comme l'air est extrêmement laminaire au-dessus des rotors, une légende voulait que les instruments de l'avion (altimètre et variomètre ) étaient tombés en panne et donnaient des indications fausses[ 1] [ 2] , [ 3] , [ 4]
Comme les chaînes de montagnes sont souvent rectilignes, il est possible de développer un modèle en 2 dimensions de ce phénomène. Ce modèle est fondé sur l'équation de Scorer, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre (qui est une équation de Helmholtz ), décrivant les ondes de gravité engendrées par un vent fort au-dessus de montagnes. Les dimensions sont notées x et z . La vitesse horizontale du vent est notée u(x,z) et la vitesse verticale est notée w(x,z) .
La démonstration de l'équation de Scorer s'appuie sur les équations de Navier-Stokes et l'approximation de Boussinesq. On considère 3 types d'équations :
La quantité de mouvement : d u → d t = − 1 ρ ∇ → p − g k → {\displaystyle {d{\vec {u}} \over dt}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}} L'énergie ; La conservation de la masse : ∇ → ( ρ u → ) = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}(\rho {\vec {u}})=0} En plus de l'équation des gaz parfaits : p = ρ ( c p − c v ) T {\displaystyle p=\rho (c_{p}-c_{v})T}
Où :
u → {\displaystyle {\vec {u}}} ρ {\displaystyle \rho } masse volumique de l'air ; p {\displaystyle p} pression atmosphérique ; g {\displaystyle g} k → {\displaystyle {\vec {k}}} c p {\displaystyle c_{p}} c v {\displaystyle c_{v}}
En combinant ces équations, il en résulte l'équation de Scorer de la relation du mouvement vertical des parcelles d'air dans l'onde produite en aval d'une montagne[ 5] , [ 6] , [ 7]
Δ w + ℓ 2 w = 0 {\displaystyle \Delta w+\ell ^{2}w=0} Avec le paramètre de Scorer ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} [ 8]
ℓ ( z ) 2 = N 2 u 0 2 − 1 u 0 d 2 u 0 d z 2 {\displaystyle \ell (z)^{2}={N^{2} \over u_{0}^{2}}-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}} où
Démonstration de l'équation de Scorer La démonstration de cette équation s'appuie sur la théorie des perturbations[ 9] q est décomposée de la manière suivante :
q = q 0 + q ′ {\displaystyle q=q_{0}+q'} où q 0 est la valeur moyenne de la quantité et q' est une perturbation en supposant que :
| q ′ | ≪ | q 0 | {\displaystyle |q'|\ll |q_{0}|} Lorsque l'on développe les équations de Navier-Stokes, on linéarise et l'on néglige les termes de second ordre de type q 1 ′ q 2 ′ {\displaystyle q_{1}'q_{2}'}
Démonstration complète de l'équation de Scorer
On définit
u → = u → 0 + u → ′ {\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}'} comme étant la somme de la vitesse du vent hors perturbation et de la perturbation du vecteur vitesse.
On définit de la même manière la masse volumique, la pression et la température hors perturbation et leurs perturbations respectives.
ρ = ρ 0 + ρ ′ , p = p 0 + p ′ , T = T 0 + T ′ {\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho ',\,p=p_{0}+p',\,T=T_{0}+T'} L'équation de conservation de la masse s'écrit :
∇ → ( ρ u → ) = ∂ ( ρ u ) ∂ x + ∂ ( ρ w ) ∂ z = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}(\rho {\vec {u}})={\partial (\rho u) \over \partial x}+{\partial (\rho w) \over \partial z}=0} On obtient donc :
u ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ u ∂ x + w ∂ ρ ∂ z + ρ ∂ w ∂ z = 0 {\displaystyle u{\partial \rho \over \partial x}+\rho {\partial u \over \partial x}+w{\partial \rho \over \partial z}+\rho {\partial w \over \partial z}=0} On suppose que u 0 et ρ0 ne dépendent que de z . On obtient alors :
u ∂ ρ ′ ∂ x + ρ ∂ u ′ ∂ x + w ′ ∂ ρ ∂ z + ρ ∂ w ′ ∂ z = 0 {\displaystyle u{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho {\partial u' \over \partial x}+w'{\partial \rho \over \partial z}+\rho {\partial w' \over \partial z}=0} On note que w 0 est nul.
On supprime les termes de second ordre dans cette équation et l'on obtient alors :
u 0 ∂ ρ ′ ∂ x + ρ 0 ∂ u ′ ∂ x + w ′ ∂ ρ 0 ∂ z + ρ 0 ∂ w ′ ∂ z = 0 {\displaystyle u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho _{0}{\partial u' \over \partial x}+w'{\partial \rho _{0} \over \partial z}+\rho _{0}{\partial w' \over \partial z}=0} On peut remplacer les dérivées partielles en z :
u 0 ∂ ρ ′ ∂ x + ρ 0 ∂ u ′ ∂ x + w ′ d ρ 0 d z + ρ 0 ∂ w ′ ∂ z = 0 {\displaystyle u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho _{0}{\partial u' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}+\rho _{0}{\partial w' \over \partial z}=0} On utilise maintenant l'équation des gaz parfaits :
p = ρ ( c p − c v ) T {\displaystyle p=\rho (c_{p}-c_{v})T} On définit R = c p − c v {\displaystyle R=c_{p}-c_{v}}
d p d t = d ρ d t R T + ρ R d T d t {\displaystyle {dp \over dt}={d\rho \over dt}RT+\rho R{dT \over dt}} Le mouvement de la parcelle d'air est adiabatique :
T α ρ γ − 1 {\displaystyle T\alpha \rho ^{\gamma -1}} où γ = c p c v = 7 5 {\displaystyle \gamma ={c_{p} \over c_{v}}={7 \over 5}}
Donc,
d T d t = T ρ ( γ − 1 ) d ρ d t {\displaystyle {dT \over dt}={T \over \rho }(\gamma -1){d\rho \over dt}} En remplaçant, on obtient :
d p d t = d ρ d t R T + ρ R T ρ ( γ − 1 ) d ρ d t = d ρ d t R T ( 1 + γ − 1 ) = d ρ d t R T c p c v {\displaystyle {\begin{aligned}{dp \over dt}={d\rho \over dt}RT+\rho R{T \over \rho }(\gamma -1){d\rho \over dt}&={d\rho \over dt}RT(1+\gamma -1)\\&={d\rho \over dt}RT{c_{p} \over c_{v}}\end{aligned}}} On définit la vitesse du son adiabatique :
c 2 = γ R T {\displaystyle c^{2}=\gamma RT} On obtient donc :
d p d t = c 2 d ρ d t {\displaystyle {dp \over dt}=c^{2}{d\rho \over dt}} On développe l'équation suivante en termes d'advection :
∂ p ∂ t + ( u → ⋅ ∇ → ) p = c 2 [ ∂ ρ ∂ t + ( u → ⋅ ∇ → ) ρ ] {\displaystyle {\partial p \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}\left[{\partial \rho \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho \right]} On est en régime stationnaire :
( u → ⋅ ∇ → ) p = c 2 ( u → ⋅ ∇ → ) ρ {\displaystyle ({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho } Donc,
u ∂ p ∂ x + w ∂ p ∂ z = c 2 ( u ∂ ρ ∂ x + w ∂ ρ ∂ z ) {\displaystyle u{\partial p \over \partial x}+w{\partial p \over \partial z}=c^{2}\left(u{\partial \rho \over \partial x}+w{\partial \rho \over \partial z}\right)} On rappelle que p 0 et ρ0 ne dépendent que de z . À nouveau, on linéarise et supprime les termes de second ordre :
u 0 ∂ p ′ ∂ x + w ′ ∂ p 0 ∂ z = c 2 ( u 0 ∂ ρ ′ ∂ x + w ′ ∂ ρ 0 ∂ z ) {\displaystyle u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{\partial p_{0} \over \partial z}=c^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{\partial \rho _{0} \over \partial z}\right)} On peut remplacer la dérivée partielle en z :
u 0 ∂ p ′ ∂ x + w ′ d p 0 d z = c 2 ( u 0 ∂ ρ ′ ∂ x + w ′ d ρ 0 d z ) {\displaystyle u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}=c^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}\right)} On linéarise à nouveau :
u 0 ∂ p ′ ∂ x + w ′ d p 0 d z = c 0 2 ( u 0 ∂ ρ ′ ∂ x + w ′ d ρ 0 d z ) {\displaystyle u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}=c_{0}^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}\right)} On obtient donc :
c 0 2 u 0 ∂ ρ ′ ∂ x = u 0 ∂ p ′ ∂ x + w ′ d p 0 d z − w ′ c 0 2 d ρ 0 d z {\displaystyle c_{0}^{2}u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}=u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}-w'c_{0}^{2}{d\rho _{0} \over dz}} Ainsi,
u 0 ρ 0 ∂ ρ ′ ∂ x = u 0 ρ 0 c 0 2 ∂ p ′ ∂ x + w ′ 1 ρ 0 c 0 2 d p 0 d z − w ′ 1 ρ 0 d ρ 0 d z {\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}={u_{0} \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{\partial p' \over \partial x}+w'{1 \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{dp_{0} \over dz}-w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}} La dérivée partielle de p' correspond aux ondes acoustiques. On peut donc ignorer ce terme :
u 0 ρ 0 ∂ ρ ′ ∂ x = w ′ ( 1 ρ 0 c 0 2 d p 0 d z − 1 ρ 0 d ρ 0 d z ) {\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'\left({1 \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{dp_{0} \over dz}-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}\right)} On rappelle que
d p 0 d z = − ρ 0 g {\displaystyle {dp_{0} \over dz}=-\rho _{0}g} et donc,
u 0 ρ 0 ∂ ρ ′ ∂ x = w ′ ( − g c 0 2 − 1 ρ 0 d ρ 0 d z ) {\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'\left(-{g \over c_{0}^{2}}-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}\right)} Or
− 1 ρ 0 d ρ 0 d z − g c 0 2 = 1 θ 0 d θ 0 d z {\displaystyle -{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}-{g \over c_{0}^{2}}={1 \over \theta _{0}}{d\theta _{0} \over dz}} où θ0 est la température potentielle .
On définit la fréquence de Brunt-Väisälä comme étant :
N 2 = g θ 0 d θ 0 d z {\displaystyle N^{2}={g \over \theta _{0}}{d\theta _{0} \over dz}} Donc,
u 0 ρ 0 ∂ ρ ′ ∂ x = w ′ N 2 g {\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'{N^{2} \over g}} On reprend l'équation de conservation de la masse :
∂ u ′ ∂ x + ∂ w ′ ∂ z + w ′ 1 ρ 0 d ρ 0 d z + u 0 ρ 0 ∂ ρ ′ ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}+w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}+{u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=0} On remplace :
∂ u ′ ∂ x + ∂ w ′ ∂ z + w ′ 1 ρ 0 d ρ 0 d z + w ′ N 2 u 0 g = 0 {\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}+w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}+w'{N^{2}u_{0} \over g}=0} Finalement :
∂ u ′ ∂ x + ∂ w ′ ∂ z = g c 0 2 w ′ {\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}={g \over c_{0}^{2}}w'} L'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
d u → d t = − 1 ρ ∇ → p − g k → {\displaystyle {d{\vec {u}} \over dt}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}} On obtient en étendant la dérivée :
∂ u → ∂ t + ( u → ⋅ ∇ → ) u → = − 1 ρ ∇ → p − g k → {\displaystyle {\partial {\vec {u}} \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}} On est en conditions stationnaires ∂ u → ∂ t = 0 → {\displaystyle {\partial {\vec {u}} \over \partial t}={\vec {0}}}
( u → ⋅ ∇ → ) u → = − 1 ρ ∇ → p {\displaystyle ({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p} On développe :
( u ∂ ∂ x + w ∂ ∂ z ) u → = − 1 ρ ( ∂ p ∂ x i → + ∂ p ∂ z k → ) − g k → {\displaystyle \left(u{\partial \over \partial x}+w{\partial \over \partial z}\right){\vec {u}}=-{1 \over \rho }\left({\partial p \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial p \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}} On rappelle que w 0 est nul. Donc,
( u 0 + u ′ ) ∂ ( u → 0 + u → ′ ) ∂ x + w ′ ∂ ( u 0 → + u → ′ ) ∂ z = − 1 ρ ( ∂ ( p 0 + p ′ ) ∂ x i → + ∂ ( p 0 + p ′ ) ∂ z k → ) − g k → {\displaystyle (u_{0}+u'){\partial ({\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}') \over \partial x}+w'{\partial ({\vec {u_{0}}}+{\vec {u}}') \over \partial z}=-{1 \over \rho }\left({\partial (p_{0}+p') \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial (p_{0}+p') \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}} On rappelle que u 0 → {\displaystyle {\vec {u_{0}}}} p 0 ne dépendent que de z . Donc,
( u 0 + u ′ ) ∂ u → ′ ∂ x + w ′ ∂ ( u → 0 + u → ′ ) ∂ z = − 1 ρ ( ∂ p ′ ∂ x i → + ∂ ( p 0 + p ′ ) ∂ z k → ) − g k → {\displaystyle (u_{0}+u'){\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{\partial ({\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}') \over \partial z}=-{1 \over \rho }\left({\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial (p_{0}+p') \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}} On linéarise et on supprime les termes de second ordre. Donc,
u 0 ∂ u → ′ ∂ x + w ′ ∂ u → 0 ∂ z = − 1 ρ ∂ p ′ ∂ x i → − 1 ρ ∂ p 0 ∂ z k → − 1 ρ ∂ p ′ ∂ z k → − g k → {\displaystyle u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{\partial {\vec {u}}_{0} \over \partial z}=-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{1 \over \rho }{\partial p_{0} \over \partial z}{\vec {k}}-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g{\vec {k}}} On remplace les dérivées partielles en z :
u 0 ∂ u → ′ ∂ x + w ′ d u → 0 d z = − 1 ρ ∂ p ′ ∂ x i → − 1 ρ d p 0 d z k → − 1 ρ ∂ p ′ ∂ z k → − g k → {\displaystyle u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{d{\vec {u}}_{0} \over dz}=-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{1 \over \rho }{dp_{0} \over dz}{\vec {k}}-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g{\vec {k}}} On multiplie par ρ :
ρ u 0 ∂ u → ′ ∂ x + ρ w ′ d u → 0 d z = − ∂ p ′ ∂ x i → − d p 0 d z k → − ∂ p ′ ∂ z k → − g ρ k → {\displaystyle \rho u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+\rho w'{d{\vec {u}}_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{dp_{0} \over dz}{\vec {k}}-{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g\rho {\vec {k}}} On projette suivant i → {\displaystyle {\vec {i}}}
ρ u 0 ∂ u ′ ∂ x + ρ w ′ d u 0 d z = − ∂ p ′ ∂ x {\displaystyle \rho u_{0}{\partial u' \over \partial x}+\rho w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}} On linéarise à nouveau :
ρ 0 u 0 ∂ u ′ ∂ x + ρ 0 w ′ d u 0 d z = − ∂ p ′ ∂ x {\displaystyle \rho _{0}u_{0}{\partial u' \over \partial x}+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}} On peut éliminer u' :
ρ 0 u 0 ( − ∂ w ′ ∂ z + g c 0 2 w ′ ) + ρ 0 w ′ d u 0 d z = − ∂ p ′ ∂ x {\displaystyle \rho _{0}u_{0}\left(-{\partial w' \over \partial z}+{g \over c_{0}^{2}}w'\right)+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}}
On projette suivant k → {\displaystyle {\vec {k}}}
ρ u 0 ∂ w ′ ∂ x = − d p 0 d z − ∂ p ′ ∂ z − ρ g = − d p 0 d z − ∂ p ′ ∂ z − ( ρ 0 + ρ ′ ) g {\displaystyle \rho u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{dp_{0} \over dz}-{\partial p' \over \partial z}-\rho g=-{dp_{0} \over dz}-{\partial p' \over \partial z}-(\rho _{0}+\rho ')g} On note que :
d p 0 d z = − ρ 0 g {\displaystyle {dp_{0} \over dz}=-\rho _{0}g} Donc,
ρ u 0 ∂ w ′ ∂ x = − ∂ p ′ ∂ z − ρ ′ g {\displaystyle \rho u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{\partial p' \over \partial z}-\rho 'g} On linéarise à nouveau :
ρ 0 u 0 ∂ w ′ ∂ x = − ∂ p ′ ∂ z − ρ ′ g {\displaystyle \rho _{0}u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{\partial p' \over \partial z}-\rho 'g} On rappelle que :
− ∂ p ′ ∂ x = ρ 0 u 0 ( − ∂ w ′ ∂ z + g c 0 2 w ′ ) + ρ 0 w ′ d u 0 d z {\displaystyle -{\partial p' \over \partial x}=\rho _{0}u_{0}\left(-{\partial w' \over \partial z}+{g \over c_{0}^{2}}w'\right)+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}} et aussi
− ∂ p ′ ∂ z = ρ 0 u 0 ∂ w ′ ∂ x + ρ ′ g {\displaystyle -{\partial p' \over \partial z}=\rho _{0}u_{0}{\partial w' \over \partial x}+\rho 'g}
On élimine p en différenciant ces deux équations :
− ∂ 2 p ′ ∂ x ∂ z = − d ( ρ 0 u 0 ) d z ∂ w ′ ∂ z − ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + d ( u 0 ρ 0 ) d z g c 0 2 w ′ + u 0 ρ 0 g c 0 2 ∂ w ′ ∂ z + d d z ( ρ 0 d u 0 d z ) w ′ + ρ 0 d u 0 d z ∂ w ′ ∂ z = − d ρ 0 d z u 0 ∂ w ′ ∂ z − ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + d ( u 0 ρ 0 ) d z g c 0 2 w ′ + u 0 ρ 0 g c 0 2 ∂ w ′ ∂ z + d d z ( ρ 0 d u 0 d z ) w ′ {\displaystyle {\begin{aligned}-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}&=-{d(\rho _{0}u_{0}) \over dz}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d(u_{0}\rho _{0}) \over dz}{g \over c_{0}^{2}}w'+{u_{0}\rho _{0}g \over c_{0}^{2}}{\partial w' \over \partial z}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'+\rho _{0}{du_{0} \over dz}{\partial w' \over \partial z}\\&=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d(u_{0}\rho _{0}) \over dz}{g \over c_{0}^{2}}w'+{u_{0}\rho _{0}g \over c_{0}^{2}}{\partial w' \over \partial z}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'\end{aligned}}} On néglige les phénomènes de compressibilité et l'on considère que c 0 ≈ ∞ {\displaystyle c_{0}\approx \infty }
− ∂ 2 p ′ ∂ x ∂ z = − d ρ 0 d z u 0 ∂ w ′ ∂ z − ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + d d z ( ρ 0 d u 0 d z ) w ′ {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'} On développe un peu plus :
− ∂ 2 p ′ ∂ x ∂ z = − d ρ 0 d z u 0 ∂ w ′ ∂ z − ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + d ρ 0 d z d u 0 d z + ρ 0 d 2 u 0 d z 2 w ′ {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d\rho _{0} \over dz}{du_{0} \over dz}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'} On utilise la loi des gaz parfaits :
p 0 = ρ 0 R T 0 ⇔ ρ 0 = p 0 R T 0 {\displaystyle p_{0}=\rho _{0}RT_{0}\,\Leftrightarrow \,\rho _{0}={p_{0} \over RT_{0}}} Donc,
d ρ 0 d z = 1 R T 0 d p 0 d z − d T 0 d z p 0 R T 0 2 {\displaystyle {d\rho _{0} \over dz}={1 \over RT_{0}}{dp_{0} \over dz}-{dT_{0} \over dz}{p_{0} \over RT_{0}^{2}}} Donc,
d ρ 0 d z = ρ 0 g R T 0 − d T 0 d z p 0 R T 0 2 {\displaystyle {d\rho _{0} \over dz}={\rho _{0}g \over RT_{0}}-{dT_{0} \over dz}{p_{0} \over RT_{0}^{2}}} On rappelle que c 0 2 = γ R T {\displaystyle c_{0}^{2}=\gamma RT}
d ρ 0 d z ≈ 0 {\displaystyle {d\rho _{0} \over dz}\approx 0} On obtient donc finalement :
− ∂ 2 p ′ ∂ x ∂ z = − ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + ρ 0 d 2 u 0 d z 2 w ′ {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'} On considère la deuxième équation :
− ∂ 2 p ′ ∂ z ∂ x = ∂ ρ 0 u 0 ∂ x ∂ w ′ ∂ x + r h o 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ x 2 + ∂ ρ ′ ∂ z g {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}={\partial \rho _{0}u_{0} \over \partial x}{\partial w' \over \partial x}+rho_{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial \rho ' \over \partial z}g} Sachant que ρ0 et u 0 ne dépendent que de z :
− ∂ 2 p ′ ∂ z ∂ x = ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ x 2 + ∂ ρ ′ ∂ z g {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial \rho ' \over \partial z}g} On rappelle que :
u 0 ρ 0 ∂ ρ ′ ∂ x = w ′ N 2 g {\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'{N^{2} \over g}} Donc,
− ∂ 2 p ′ ∂ z ∂ x = ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ x 2 + g N 2 ρ 0 g u 0 w ′ = ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ x 2 + N 2 ρ 0 u 0 w ′ {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+g{N^{2}\rho _{0} \over gu_{0}}w'=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{N^{2}\rho _{0} \over u_{0}}w'} On écrit que :
− ∂ 2 p ′ ∂ z ∂ x = − ∂ 2 p ′ ∂ x ∂ z {\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}} Donc,
ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ x 2 + N 2 ρ 0 u 0 w ′ = − ρ 0 u 0 ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + ρ 0 d 2 u 0 d z 2 w ′ = − ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + 1 u 0 d 2 u 0 d z 2 w ′ {\displaystyle \rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{N^{2}\rho _{0} \over u_{0}}w'=-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'=-{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'} Finalement, l'on obtient la formule de Scorer :
∂ 2 w ′ ∂ x 2 + ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + ( N 2 u 0 2 w ′ − 1 u 0 d 2 u 0 d z 2 ) w ′ {\displaystyle {\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}}w'-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}\right)w'} On définit le paramètre de Scorer par :
ℓ 2 = N 2 u 0 2 − 1 u 0 d 2 u 0 d z 2 {\displaystyle \ell ^{2}={N^{2} \over {u_{0}}^{2}}-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}} Finalement l'équation de Scorer s'écrit :
∂ 2 w ′ ∂ x 2 + ∂ 2 w ′ ∂ z 2 + ℓ 2 w ′ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}w'=0} Cette équation est linéaire en w' = w et peut être résolue analytiquement dans de nombreux cas.
Solutions analytiques Cas d'un terrain sinusoïdal En cas de terrain sinusoïdal de période L , la solution à l'équation de Scorer sera périodique. On définit k = 2 π / L {\displaystyle k=2\pi /L} ℓ {\displaystyle \ell }
Dans le cas où ℓ < k {\displaystyle \ell <k} [ 10]
w ( x , z ) = u 0 h 0 k cos ( k x ) e − k 2 − ℓ 2 z {\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos(kx)\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}} Dans le cas où ℓ > k {\displaystyle \ell >k}
w ( x , z ) = u 0 h 0 k cos [ k x + ℓ 2 − k 2 z ] {\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]} Conditions aux limites En cas de terrain sinusoïdal de période L , la solution à l'équation de Scorer sera périodique. On définit k = 2 π / L {\displaystyle k=2\pi /L}
Au niveau du sol, le vent est tangent à la pente.
Expression explicite des conditions aux limites
La condition aux limites s'écrit donc[ 11]
w ( x , h ( x ) ) = ( u 0 + u ′ ) d h ( x ) d x {\displaystyle w(x,h(x))=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}} On effectue un développement limité :
w ( x , 0 ) + ∂ w ∂ z h ( x ) = ( u 0 + u ′ ) d h ( x ) d x {\displaystyle w(x,0)+{\partial w \over \partial z}h(x)=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}} On utilise l'équation de continuité :
∂ ( u 0 + u ′ ) ∂ x + ∂ w ∂ z = 0 {\displaystyle {\partial (u_{0}+u') \over \partial x}+{\partial w \over \partial z}=0} On note que u_0 ne dépend que de z :
∂ u ′ ∂ x + ∂ w ∂ z = 0 {\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w \over \partial z}=0} En substituant, on obtient donc :
w ( x , 0 ) − ∂ u ′ ∂ x h ( x ) = ( u 0 + u ′ ) d h ( x ) d x {\displaystyle w(x,0)-{\partial u' \over \partial x}h(x)=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}} La quantité u ′ h ( x ) {\displaystyle u'h(x)}
− ∂ u ′ ∂ x h ( x ) ≈ u ′ d h ( x ) d x {\displaystyle -{\partial u' \over \partial x}h(x)\approx u'{\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}} On obtient donc la condition aux limites suivante :
w ( x , 0 ) = u 0 d h ( x ) d x {\displaystyle w(x,0)=u_{0}{\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}} On définit : h ( x ) = sin ( k x ) {\displaystyle h(x)=\sin(kx)}
Ainsi,
w ( x , 0 ) = u 0 h 0 k cos ( k x ) {\displaystyle w(x,0)=u_{0}h_{0}k\cos(kx)}
Formulation de l'équation de Scorer En cas de terrain sinusoïdal de période L , la solution à l'équation de Scorer sera périodique. On exprime la solution sous forme de série de Fourier qui se réduit à 1 terme.
Développement en série de Fourier
On définit k = 2 π / L {\displaystyle k=2\pi /L}
w ( x , z ) = ∑ n ≥ 1 a n ( z ) ( cos ( n k x ) + b n ( z ) sin ( n k x ) ) {\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}(z)\left(\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)\right)} L'équation de Scorer devient alors :
∑ n ≥ 1 ( d 2 a n ( z ) d z 2 cos ( n k x ) + d 2 b n ( z ) d z 2 sin ( n k x ) − k 2 [ a n ( z ) cos ( k x ) + b n ( z ) sin ( n k x ) ] + ℓ 2 [ a n ( z ) cos ( n k x ) + b n ( z ) sin ( n k x ) ] ) = 0 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left({\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}\cos(nkx)+{\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}\sin(nkx)-k^{2}[a_{n}(z)\cos(kx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]+\ell ^{2}[a_{n}(z)\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]\right)=0} Les fonctions cosinus et sinus sont linéairement indépendantes. On obtient donc les équations différentielles suivantes :
d 2 a n ( z ) d z 2 + ( ℓ 2 − k 2 ) a n ( z ) = 0 , d 2 b n ( z ) d z 2 + ( ℓ 2 − k 2 ) b n ( z ) = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over dz^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})a_{n}(z)=0,\quad {\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})b_{n}(z)=0} La forme de la solution dépend des valeurs de k et ℓ {\displaystyle \ell }
Si la stabilité de l'atmosphère est neutre, on a en première approximation ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0}
Cas où l < k Dans la boîte déroulante, on démontre la formule ci-dessus.
Démonstration de la formule
Comme il a été dit plus haut, ce cas est assez courant. On a alors:
a n ( z ) = α n e − k 2 − ℓ 2 z + α n ′ e k 2 − ℓ 2 z {\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}+\alpha '_{n}\mathrm {e} ^{{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}} Le second terme de la somme est non physique et donc est éliminé. Il en est de même pour b (z ). On a donc :
a n ( z ) = α n e − k 2 − ℓ 2 z b n ( z ) = β n e − k 2 − ℓ 2 z {\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}\qquad b_{n}(z)=\beta _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}} On a donc :
w ( x , z ) = [ ∑ n ≥ 1 ( α n cos ( n k x ) + β n sin ( n k x ) ) ] e − k 2 − ℓ 2 z {\displaystyle w(x,z)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}} On applique la condition aux limites discutée ci-dessus.
On a donc à z = 0
u 0 h 0 k cos ( k x ) = w ( x , 0 ) = [ ∑ n ≥ 1 ( α n cos ( n k x ) + β n sin ( n k x ) ) ] e − k 2 − ℓ 2 0 {\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]e^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}0}} Donc,
u 0 h 0 k cos ( k x ) = [ ∑ n ≥ 1 ( α n cos ( n k x ) + β n sin ( n k x ) ) ] × 1 {\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\times 1} Les fonctions sinus et cosinus sont linéairement indépendantes. Le seul terme non nul est α1 . Donc,
w ( x , z ) = h 0 k cos ( k x ) e − k 2 − ℓ 2 z {\displaystyle w(x,z)=h_{0}k\cos(kx)\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}}
Cas où l > k Démonstration de la formule
On écrit :
w ( x , z ) = ∑ n ≥ 1 a n ( z ) cos ( n k x ) + ∑ n ≥ 1 b n ( z ) sin ( n k x ) {\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}(z)\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}b_{n}(z)\sin(nkx)} On rappelle que :
d 2 a n ( z ) d z 2 + ( ℓ 2 − k 2 ) a n ( z ) = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})a_{n}(z)=0} d 2 b n ( z ) d z 2 + ( ℓ 2 − k 2 ) b n ( z ) = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})b_{n}(z)=0} On a alors :
a n ( z ) = α n cos [ ℓ 2 − k 2 z ] + α n ′ sin [ ℓ 2 − k 2 z ] {\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]} De même,
b n ( z ) = β n cos [ ℓ 2 − k 2 z ] + β n ′ sin [ ℓ 2 − k 2 z ] {\displaystyle b_{n}(z)=\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]} Dans ce cas, on a :
w ( x , z ) = ∑ n ≥ 1 [ α n cos [ ℓ 2 − k 2 z ] + α n ′ sin [ ℓ 2 − k 2 z ] ] cos ( n k x ) + ∑ n ≥ 1 [ β n cos [ ℓ 2 − k 2 z ] + β n ′ sin [ ℓ 2 − k 2 z ] ] sin ( n k x ) {\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\sin(nkx)} On exprime les conditions aux limites au niveau du sol et l'on a donc :
u 0 h 0 k cos ( k x ) = w ( x , 0 ) = ∑ n ≥ 1 [ α n cos [ ℓ 2 − k 2 0 ] + α n ′ sin [ ℓ 2 − k 2 0 ] ] cos ( n k x ) + ∑ n ≥ 1 [ β n cos [ ℓ 2 − k 2 0 ] + β n ′ sin [ ℓ 2 − k 2 0 ] ] sin ( n k x ) = ∑ n ≥ 1 [ α n × 1 + α n ′ × 0 ] cos ( n k x ) + ∑ n ≥ 1 [ β n × 1 + β n ′ × 0 ] ] sin ( n k x ) = ∑ n ≥ 1 α n cos ( n k x ) + ∑ n ≥ 1 β n sin ( n k x ) {\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\times 1+\alpha '_{n}\times 0\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\times 1+\beta '_{n}\times 0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\sin(nkx)} On obtient donc pour n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
α n = β n = α n ′ = β n ′ = 0 {\displaystyle \alpha _{n}=\beta _{n}=\alpha '_{n}=\beta '_{n}=0} On peut maintenant reformuler la vitesse verticale en utilisant les formules trigonométriques :
w ( x , z ) = A cos [ k x + ℓ 2 − k 2 z ] + B cos [ k x − ℓ 2 − k 2 z ] + C sin [ k x + ℓ 2 − k 2 z ] + D sin [ k x − ℓ 2 − k 2 z ] {\displaystyle w(x,z)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]} On considère maintenant la condition limite en z = 0. On a donc :
u 0 h 0 k cos ( k x ) = A cos [ k x + ℓ 2 − k 2 0 ] + B cos [ k x − ℓ 2 − k 2 0 ] + C sin [ k x + ℓ 2 − k 2 0 ] + D sin [ k x − ℓ 2 − k 2 0 ] {\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]} Donc,
u 0 h 0 k cos ( k x ) = A cos ( k x ) + B cos ( k x ) + C sin ( k x ) + D sin ( k x ) {\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos(kx)+B\cos(kx)+C\sin(kx)+D\sin(kx)} On obtient donc A + B = u 0 h 0 k {\displaystyle A+B=u_{0}h_{0}k} C + D = 0 {\displaystyle C+D=0}
À cause de la friction, les ondes penchent en amont du flot[ 12]
Finalement :
w ( x , z ) = u 0 h 0 k cos [ k x + ℓ 2 − k 2 z ] {\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]}
Montagne isolée Formulation générale On suppose que la montagne est représentée par une courbe sorcière d'Agnesi comme suit :
h ( x ) = h m a a 2 a 2 + x 2 {\displaystyle h(x)=h_{m}a{a^{2} \over a^{2}+x^{2}}} On rappelle que la transformée de Fourier (voir l'article théorème des résidus ) s'exprime comme suit :
h ^ ( ξ ) = h m a e − a ξ {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=h_{m}a\mathrm {e} ^{-a\xi }} Dans la boîte déroulante, on exprime de manière générale le déplacement des lignes de courant η ( x , z ) {\displaystyle \eta (x,z)}
Expression générale des lignes de courant
L'équation différentielle s'écrit :
∂ 2 w ∂ z 2 + ( ℓ 2 − ξ 2 ) w = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}w \over \partial z^{2}}+(\ell ^{2}-\xi ^{2})w=0} On considère ξ > ℓ {\displaystyle \xi >\ell }
La solution est alors :
w ( ξ , z ) = α ( ξ ) e ξ 2 − ℓ 2 z + β ( ξ ) e ξ 2 − ℓ 2 − ξ 2 z {\displaystyle w(\xi ,z)=\alpha (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}+\beta (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}} Le premier terme est non physique et donc, l'on a:
w ^ ( ξ , z ) = β e − ξ 2 − ℓ 2 − ξ 2 z {\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)=\beta \mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}} On considère ξ < ℓ {\displaystyle \xi <\ell }
La solution est alors :
w ^ ( ξ , z ) = γ e i ℓ 2 − ξ 2 z + δ e − i ℓ 2 − ξ 2 z {\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)=\gamma \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}+\delta \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}} La condition aux limites s'exprime par :
w ( x , 0 ) = u 0 h ′ ( x ) {\displaystyle w(x,0)=u_{0}h'(x)} Exprimée dans l'espace de Fourier, cette condition aux limites s'exprime comme suit :
w ^ ( ξ , 0 ) = u 0 h ^ ′ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,0)=u_{0}{\hat {h}}'(\xi )} On rappelle que :
h ^ ( ξ ) = h m a e i a ξ , h ^ ′ ( ξ ) = h m a i ξ e i a ξ {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=h_{m}a\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi },\,{\hat {h}}'(\xi )=h_{m}ai\xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi }} On obtient donc dans le cas ξ > ℓ {\displaystyle \xi >\ell }
h ^ ( ξ ) i ξ = w ( ξ , 0 ) = β ( ξ ) e ξ 2 − ℓ 2 0 = β ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi =w(\xi ,0)=\beta (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}0}=\beta (\xi )} Donc,
w ^ ( ξ , z ) = h ^ ( ξ ) i ξ e ξ 2 − ℓ 2 z {\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}} Dans le cas ξ < ℓ {\displaystyle \xi <\ell }
On a :
h ^ ( ξ ) i ξ = w ( ξ , 0 ) = γ e i ℓ 2 − ξ 2 0 + δ e − i ℓ 2 − ξ 2 0 = γ + δ {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )i\xi =w(\xi ,0)=\gamma \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}0}+\delta e^{-i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}0}=\gamma +\delta } On a donc
γ = h ^ ( ξ ) i ξ − δ {\displaystyle \gamma ={\hat {h}}(\xi )i\xi -\delta } Donc,
w ^ ( ξ , z ) = h ^ ( ξ ) i ξ e i a ξ + i ξ 2 − ℓ 2 z + δ ( e i ξ 2 − ℓ 2 z − e − i ξ 2 − ℓ 2 z ) {\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}+\delta \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\right)} On élimine le deuxième terme car non physique. Donc,
w ^ ( ξ , z ) = h ^ ( ξ ) i ξ e i ξ 2 − ℓ 2 z {\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}} On rappelle que
w = u 0 ∂ η ∂ x {\displaystyle w=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}} Donc,
w ^ = u 0 i ξ η ^ {\displaystyle {\hat {w}}=u_{0}\mathrm {i} \xi {\hat {\eta }}} On obtient donc :
η ^ ( ξ , z ) = h ^ ( ξ ) e − ξ 2 − ℓ 2 z {\displaystyle {\hat {\eta }}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}} ξ ≥ ℓ {\displaystyle \xi \geq \ell } η ^ ( ξ , z ) = h ^ ( ξ ) e i ℓ 2 − ξ 2 z {\displaystyle {\hat {\eta }}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}} ξ ≤ ℓ {\displaystyle \xi \leq \ell } On effectue la transformation de Fourier inverse et l'on obtient donc :
η ( x , z ) = ∫ 0 ∞ η ^ ( ξ , z ) e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)=\int _{0}^{\infty }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } Donc en développant, on obtient :
η ( x , z ) = ∫ 0 ℓ η ^ ( ξ , z ) e i ξ x d ξ + ∫ ℓ ∞ η ^ ( ξ , z ) e i ξ x d ξ = ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i ℓ 2 − ξ 2 z e i ξ x d ξ + ∫ ℓ ∞ h ^ e − ξ 2 − ℓ 2 z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)=\int _{0}^{\ell }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi }
Cas de la montagne aplatie (sorcière d'Agnesi) Dans le cas d'une montagne aplatie où a ℓ ≫ 1 {\displaystyle a\ell \gg 1}
η ( x , z ) = h m a a cos ( ℓ z ) − x sin ( ℓ z ) a 2 + x 2 {\displaystyle \eta (x,z)=h_{m}a{a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z) \over a^{2}+x^{2}}} On constate clairement que la vitesse verticale a une périodicité verticale[ 13]
Calcul des lignes de courant pour une montagne aplatie (Agnesi)
Dans ce cas, on a a ℓ ≫ 1 {\displaystyle a\ell \gg 1}
Le premier terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
η ( x , z ) ≈ ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i ℓ 2 − ξ 2 z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx \int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } Donc ℓ ≫ ξ {\displaystyle \ell \gg \xi }
η ( x , z ) ≈ ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i ℓ 2 z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx \int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } Donc,
η ( x , z ) ≈ e − ℓ z ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ ≈ e i ℓ z ∫ 0 ∞ h ^ ( ξ ) e i x ξ d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx e^{-\ell z}\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi \approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}\int _{0}^{\infty }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi } On remplace maintenant h ^ ( ξ ) = h m a e − ξ a {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=h_{m}ae^{-\xi a}}
η ( x , z ) ≈ e i ℓ z ∫ 0 ∞ e − a ξ e i x ξ d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}\int _{0}^{\infty }e^{-a\xi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi } Donc,
η ( x , z ) ≈ e i ℓ z 1 − a + i x {\displaystyle \eta (x,z)\approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}{1 \over -a+ix}} Donc,
η ( x , z ) = e i ℓ z a + i x a 2 + x 2 {\displaystyle \eta (x,z)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}{a+ix \over a^{2}+x^{2}}} Donc,
η ( x , z ) = cos ( ℓ z ) + i sin ( ℓ z ) a + i x a 2 + x 2 {\displaystyle \eta (x,z)=\cos(\ell z)+i\sin(\ell z){a+ix \over a^{2}+x^{2}}} En prenant la partie réelle, on obtient :
η ( x , z ) = h m a a cos ( ℓ z ) − x sin ( ℓ z ) a 2 + x 2 {\displaystyle \eta (x,z)=h_{m}a{a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z) \over a^{2}+x^{2}}} On rappelle que w ( x , z ) = u 0 ∂ η ∂ x {\displaystyle w(x,z)=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}}
On obtient donc :
∂ η ∂ x = h m a − sin ( ℓ z ) ( a 2 + x 2 ) − 2 x [ a cos ( ℓ z ) − x sin ( ℓ z ) ] ( a 2 + x 2 ) 2 {\displaystyle {\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{-\sin(\ell z)(a^{2}+x^{2})-2x[a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z)] \over (a^{2}+x^{2})^{2}}} Donc,
∂ η ∂ x = h m a ( x 2 − a 2 ) sin ( ℓ z ) − 2 x a cos ( ℓ z ) ( a 2 + x 2 ) 2 {\displaystyle {\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{(x^{2}-a^{2})\sin(\ell z)-2xa\cos(\ell z) \over (a^{2}+x^{2})^{2}}} On remarque que :
h ′ ( x ) = − h m 2 a 2 x ( a 2 + x 2 ) 2 {\displaystyle h'(x)=-h_{m}{2a^{2}x \over (a^{2}+x^{2})^{2}}} Donc,
∂ η ∂ x = h m a x 2 − a 2 ( a 2 + x 2 ) 2 sin ( ℓ z ) + h ′ ( x ) cos ( ℓ z ) {\displaystyle {\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin(\ell z)+h'(x)\cos(\ell z)} On observe donc une périodicité verticale de la vitesse verticale w . Dans le cas où N = 10 − 2 {\displaystyle N=10^{-2}} u 0 = 10 {\displaystyle u_{0}=10} Z = 2 π u 0 N = 6.28 {\displaystyle Z=2\pi {u_{0} \over N}=6.28}
Cas de la montagne aplatie (courbe de Gauss) On suppose que la montagne a une forme de courbe en cloche[ 14]
h ( x ) = h 0 e − x 2 a 2 {\displaystyle h(x)=h_{0}e^{-{x^{2} \over a^{2}}}} Le déplacement des lignes de courant se simplifie comme suit :
η ( x , z ) = e i ℓ z h ( x ) {\displaystyle \eta (x,z)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}h(x)} Calcul des lignes de courant pour une montagne aplatie (Gaus)
La transformée de Fourier de la courbe de Gauss est la suivante :
h ^ ( ξ ) = a π h 0 π e − a 2 ξ 2 4 {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=a{\sqrt {\pi }}h_{0}{\sqrt {\pi }}e^{-{a^{2}\xi ^{2} \over 4}}} On rappelle que :
η ( x , z ) ≃ e − ℓ z ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ ≈ e i ℓ z ∫ 0 ∞ h ^ ( ξ ) e i x ξ d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\simeq e^{-\ell z}\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi \approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}\int _{0}^{\infty }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi } soit
η ( x , z ) ≃ e i ℓ z π ∫ 0 ∞ e − a 2 ξ 2 4 e i x ξ d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\simeq \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{a^{2}\xi ^{2} \over 4}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi } On constate que le terme sous l'intégrale est la transformée de Fourier d'une courbe gaussienne. En application du résultat précédent, on a :
∫ 0 ∞ e − a 2 ξ 2 4 e i x ξ d ξ = e − a 2 x 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-{a^{2}\xi ^{2} \over 4}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi =e^{-{a^{2} \over x^{2}}}} Donc,
η ( x , z ) ≃ e i ℓ z h ( x ) {\displaystyle \eta (x,z)\simeq \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}h(x)} Dans ce cas, aucune onde de ressaut n'est formée. Cette formule approchée permet aussi d'évaluer l'ascendance au-dessus d'une pente. On remarque que l'effet ascensionnel s'atténue avec la hauteur au-dessus de la colline. Cette formule approchée pourra être utilisée pour estimer la vitesse ascensionnelle lors d'un vol de pente .
Cas de la montagne étroite Dans le cas d'une montagne étroite où a ℓ ≪ 1 {\displaystyle a\ell \ll 1}
η ( x , z ) = h m a ( a + z ) x 2 + ( a + z ) 2 {\displaystyle \eta (x,z)={h_{m}a(a+z) \over x^{2}+(a+z)^{2}}} On constate clairement qu'il n'y a pas d'ondes de ressaut et aussi que la déflexion de l'air n'a pas non plus de périodicité verticale[ 15]
Dans la boîte déroulante, on démontre la formule.
Calcul des lignes de courant pour une montagne étroite
Le second terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
η ( x , z ) ≈ ∫ ℓ ∞ h ^ e − ξ 2 − ℓ 2 z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx \int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}e^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } On a ξ 2 − ℓ 2 ≈ ξ 2 {\displaystyle {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}\approx {\sqrt {\xi ^{2}}}}
η ( x , z ) ≈ ∫ ℓ ∞ h ^ e − ξ 2 z e i ξ x d ξ ≈ ∫ 0 ∞ h ^ e − ξ z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx \int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}e^{-{\sqrt {\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi \approx \int _{0}^{\infty }{\hat {h}}e^{-\xi z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } On remplace h ^ ( ξ ) = h m a e − a ξ {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=h_{m}ae^{-a\xi }}
η ( x , z ) = ∫ 0 ∞ e − a ξ e − ξ z e i ξ x d ξ = h m a ∫ 0 ∞ e ( − a − z + i x ) ξ d ξ {\displaystyle \eta (x,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-a\xi }e^{-\xi z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =h_{m}a\int _{0}^{\infty }e^{(-a-z+ix)\xi }\mathrm {d} \xi } Finalement,
η ( x , z ) = h m a ( − ) − a − z + i x {\displaystyle \eta (x,z)={h_{m}a(-) \over -a-z+ix}} Donc en prenant la partie réelle, l'on obtient :
η ( x , z ) = h m a ( a + z ) x 2 + ( a + z ) 2 {\displaystyle \eta (x,z)={h_{m}a(a+z) \over x^{2}+(a+z)^{2}}} On a :
u ′ = − u 0 ∂ η ∂ z {\displaystyle u'=-u_{0}{\partial \eta \over \partial z}} On rappelle que :
η ( x , z ) = h m a z + a x 2 + ( z + a ) 2 {\displaystyle \eta (x,z)=h_{m}a{z+a \over x^{2}+(z+a)^{2}}} Donc,
u ′ = − u 0 h m a x 2 + ( z + a ) 2 − 2 ( z + a ) 2 [ x 2 + ( z + a ) 2 ] 2 = − u 0 h m a x 2 − ( z + a ) 2 [ x 2 + ( z + a ) 2 ] 2 = u 0 h m a ( z + a ) 2 − x 2 [ x 2 + ( z + a ) 2 ] 2 {\displaystyle u'=-u_{0}h_{m}a{x^{2}+(z+a)^{2}-2(z+a)^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}=-u_{0}h_{m}a{x^{2}-(z+a)^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}=u_{0}h_{m}a{(z+a)^{2}-x^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}}
On note que u' peut devenir négatif et l'on peut même avoir u + u' < 0. Si cela se produit, on n'est plus dans cas linéaire et l'hypothèse | u ′ | ≪ | u + 0 | {\displaystyle |u'|\ll |u+0|}
De même, l'on a :
w = w ′ = u 0 ∂ η ∂ x {\displaystyle w=w'=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}} Donc,
w ( x , z ) = − 2 u 0 h m a ( a + z ) x [ ( a + z ) 2 + x 2 ] 2 {\displaystyle w(x,z)=-2u_{0}{h_{m}a(a+z)x \over [(a+z)^{2}+x^{2}]^{2}}} On remarque que :
h ′ ( x ) = − 2 h m a 2 x ( x 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle h'(x)={-2h_{m}a^{2}x \over (x^{2}+a^{2})^{2}}} Donc,
w ( x , z ) = − 2 u 0 h ′ ( x ) ( a + z ) a × ( a 2 + x 2 ) 2 [ ( a + z ) 2 + x 2 ] 2 {\displaystyle w(x,z)=-2u_{0}h'(x){(a+z) \over a}\times {(a^{2}+x^{2})^{2} \over [(a+z)^{2}+x^{2}]^{2}}}
Cas général Lorsque x est grand, le déplacement des lignes de courant peuvent s'exprimer comme suit (Formule 2.68 de Smith[ 16]
η ( x , z ) = − ρ 0 ρ ( z ) h 0 a 2 π ( ℓ 2 − ξ c 2 ) 3 4 ℓ z e − ξ c a cos ( ℓ 2 − ξ c 2 z + ξ c x − π 4 ) {\displaystyle \eta (x,z)=-{\sqrt {\rho _{0} \over \rho (z)}}h_{0}a{\sqrt {2\pi }}{(\ell ^{2}-\xi _{c}^{2})^{3 \over 4} \over \ell {\sqrt {z}}}e^{-\xi _{c}a}\cos \left({\sqrt {\ell ^{2}-\xi _{c}^{2}}}z+\xi _{c}x-{\pi \over 4}\right)} avec ξ c = ℓ / ( z x ) 2 + 1 {\displaystyle \xi _{c}=\ell \left/{\sqrt {\left({z \over x}\right)^{2}+1}}\right.} [ 17]
Dans la boîte déroulante, on démontre la formule.
Calcul des lignes de courant dans le cas général
On considère le cas où a ℓ ≈ 1 {\displaystyle a\ell \approx 1}
η ( x , z ) = ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i a ξ + i ℓ 2 − ξ 2 z e i ξ x d ξ + ∫ ℓ ∞ h ^ e i a ξ − ξ 2 − ℓ 2 z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)=\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi -{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } On se restreint dans le cas où x est grand. Comme le terme e i ξ x {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}}
η ( x , z ) ≈ ∫ 0 ℓ h ^ ( ξ ) e i a ξ + i ℓ 2 − ξ 2 z e i ξ x d ξ {\displaystyle \eta (x,z)\approx \int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi } On définit la phase :
ϕ ( ξ ) = x ξ + ℓ 2 − ξ 2 z {\displaystyle \phi (\xi )=x\xi +{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z} Cette intégrale est presque nulle sauf si la dérivée de la phase est nulle.
d ϕ ( ξ ) d ξ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \phi (\xi ) \over \mathrm {d} \xi }=0} On note que :
d ϕ ( ξ ) d ξ = x + z 2 ℓ 2 − ξ 2 d ( ℓ 2 − ξ 2 ) d ξ = x − z ℓ 2 − ξ 2 {\displaystyle {\mathrm {d} \phi (\xi ) \over \mathrm {d} \xi }=x+{z \over 2{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}}{d(\ell ^{2}-\xi ^{2}) \over \mathrm {d} \xi }=x-{z \over {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}}} On résout donc :
x − z ξ ℓ 2 − ξ 2 = 0 ↔ x 2 ( ℓ 2 − ξ 2 ) = z ξ ↔ − x 2 ξ 2 + z ξ + x 2 ℓ 2 = 0 {\displaystyle x-{z\xi \over {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}}=0\,\leftrightarrow \,x^{2}(\ell ^{2}-\xi ^{2})=z\xi \,\leftrightarrow \,-x^{2}\xi ^{2}+z\xi +x^{2}\ell ^{2}=0} Les solutions sont donc :
ξ = − z ξ ± z 2 + 4 x 2 ℓ 2 2 z {\displaystyle \xi ={-z\xi \pm {\sqrt {z^{2}+4x^{2}\ell ^{2}}} \over 2z}} Une seule solution est physique et l'on a :
ξ ∗ = − z ξ + z 2 + 4 x 2 ℓ 2 2 z {\displaystyle \xi ^{*}={-z\xi +{\sqrt {z^{2}+4x^{2}\ell ^{2}}} \over 2z}} On effectue un développement limité et l'on a:
ϕ ( ξ ∗ + δ ξ ) = ϕ ( ξ ∗ ) + 1 2 d 2 ϕ ( ξ ) d ξ 2 δ ξ 2 {\displaystyle \phi (\xi ^{*}+\delta \xi )=\phi (\xi ^{*})+{1 \over 2}{\mathrm {d} ^{2}\phi (\xi ) \over \mathrm {d} \xi ^{2}}\delta \xi ^{2}} On définit ξc tel que :
z x = ℓ 2 − ξ c 2 ξ c {\displaystyle {z \over x}={{\sqrt {\ell ^{2}-\xi _{c}^{2}}} \over \xi _{c}}} Après quelques calculs, l'on obtient :
η ( x , z ) = − h m a 2 π ( ℓ 2 − ξ c 2 ) 3 4 ℓ z e − ξ c a cos ( ℓ 2 − ξ c 2 z + ξ c x − π 4 ) {\displaystyle \eta (x,z)=-h_{m}a{\sqrt {2\pi }}{(\ell ^{2}-\xi _{c}^{2})^{3 \over 4} \over \ell {\sqrt {z}}}e^{-\xi _{c}a}\cos \left({\sqrt {\ell ^{2}-\xi _{c}^{2}}}z+\xi _{c}x-{\pi \over 4}\right)}
Vitesse du vent variable Le modèle est basé sur le papier de Keller[ 18]
Il suppose que la vitesse du vent augmente linéairement avec l'altitude. Deux résultats sont présentés :
Le cas hydrostatique où le nombre d'onde est suppsé être nul; Le cas non hydrostatique où le nombre d'onde est non nul. On suppose que la vitesse du vent se met sous la forme :
u ( z ) = u 0 ( 1 + λ z ) {\displaystyle u(z)=u_{0}(1+\lambda z)} L'obstacle est supposé être une sorcière d'Agnesi comme défini ci-dessus. On définit le nombre de Richardson comme suit :
R i = N u 0 λ {\displaystyle Ri={N \over u_{0}\lambda }} Dans le cas hydrostatique, la vitesse verticale s'exprime comme suit :
w ( x , z ) = h ′ ( x ) u 0 1 + λ z cos ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) + h 0 a u 0 1 + λ z x 2 − a 2 ( a 2 + x 2 ) 2 sin ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) {\displaystyle w(x,z)=h'(x)u_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)+h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)} Soit K i μ {\displaystyle K_{i\mu }}
w ( x , z ) = u 0 h 0 a 1 + λ z ∑ j = 1 n ξ j λ K i μ [ ξ j ( 1 + λ z ) / λ ] K i μ ′ ( ξ j / λ ) cos ( x ξ j ) e − a ξ j {\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{\xi _{j} \over \lambda }{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\cos(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}} où ξ j / λ {\displaystyle \xi _{j}/\lambda } K i μ ( ) {\displaystyle K_{i\mu }()}
Équation de Scorer avec une vitesse de vent variable
On corrige légèrement le paramètre de Scorer où
ℓ 2 = N 2 u ( z ) − β 2 4 {\displaystyle \ell ^{2}={N^{2} \over u(z)}-{\beta ^{2} \over 4}} avec β = ρ ′ ( z ) ρ ( z ) {\displaystyle \beta ={\rho '(z) \over \rho (z)}}
L'équation de Long est réécrite comme suit :
∂ 2 ψ ^ ∂ z 2 + ( ℓ 2 − ξ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+(\ell ^{2}-\xi ^{2}){\hat {\psi }}=0} On suppose que la vitesse du vent augmente avec l'altitude. On écrit:
u ( z ) = u 0 ( 1 + λ z ) {\displaystyle u(z)=u_{0}(1+\lambda z)} On obtient alors :
∂ 2 ψ ^ ∂ z 2 + ( N 2 u 0 2 ( 1 + λ z ) 2 − β 2 4 − ξ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}(1+\lambda z)^{2}}-{\beta ^{2} \over 4}-\xi ^{2}\right){\hat {\psi }}=0} On définit
ζ = 1 + λ z {\displaystyle \zeta =1+\lambda z}
Solution hydrostatique On considère l'approximation hydrostatique où
β = ξ = 0 {\displaystyle \beta =\xi =0} On a alors :
∂ 2 ψ ^ ∂ z 2 + N 2 u 0 2 ζ 2 ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+{N^{2} \over u_{0}^{2}\zeta ^{2}}{\hat {\psi }}=0} Démonstration dans le cas hydrostatique
Donc,
λ 2 ∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 + N 2 u 0 2 ζ 2 ψ ^ = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}{\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+{N^{2} \over u_{0}^{2}\zeta ^{2}}{\hat {\psi }}=0} On définit le nombre de Richardson comme :
R i = N u 0 λ {\displaystyle Ri={N \over u_{0}\lambda }} On résout donc :
∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 + R i 2 ζ 2 ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+{Ri^{2} \over \zeta ^{2}}{\hat {\psi }}=0} On définit
ψ ^ = ζ y {\displaystyle {\hat {\psi }}={\sqrt {\zeta }}y} On a :
ψ ^ ′ = 1 2 ζ y + ζ y ′ {\displaystyle {\hat {\psi }}'={1 \over 2{\sqrt {\zeta }}}y+{\sqrt {\zeta }}y'} Donc,
ψ ^ ″ = − 1 4 ζ 3 2 y + 2 1 2 ζ y ′ + ζ y ″ {\displaystyle {\hat {\psi }}''=-{1 \over 4\zeta ^{3 \over 2}}y+2{1 \over 2{\sqrt {\zeta }}}y'+{\sqrt {\zeta }}y''} On résout donc :
− 1 4 ζ 3 2 y + 2 1 2 ζ y ′ + ζ y ″ + R i 2 ζ ζ 2 y = 0 {\displaystyle -{1 \over 4\zeta ^{3 \over 2}}y+2{1 \over 2{\sqrt {\zeta }}}y'+{\sqrt {\zeta }}y''+{Ri^{2}{\sqrt {\zeta }} \over \zeta ^{2}}y=0} On multiplie par ζ 3 2 {\displaystyle \zeta ^{3 \over 2}}
− 1 4 y + ζ y ′ + ζ 2 y ″ + R i 2 y = 0 {\displaystyle -{1 \over 4}y+\zeta y'+\zeta ^{2}y''+Ri^{2}y=0} Donc,
ζ 2 y ″ + ζ y ′ + ( R i 2 − 1 4 ) y = 0 {\displaystyle \zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}\right)y=0} On a :
ζ d ζ ( ζ d d ζ y ) = ζ d y d ζ + ζ 2 d 2 y d ζ 2 . {\displaystyle \zeta {\mathrm {d} \over \zeta }\left(\zeta {\mathrm {d} \over \mathrm {d} \zeta }y\right)=\zeta {dy \over d\zeta }+\zeta ^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} \zeta ^{2}}.} On obtient donc :
ζ 2 d 2 y d ζ 2 = ζ d ζ ( ζ d d ζ y ) − ζ d y d ζ {\displaystyle \zeta ^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} \zeta ^{2}}=\zeta {d \over \zeta }\left(\zeta {d \over d\zeta }y\right)-\zeta {\mathrm {d} y \over \mathrm {d} \zeta }} L'équation devient donc :
ζ d ζ ( ζ d d ζ y ) + ( R i 2 − 1 4 ) y = 0 {\displaystyle \zeta {\mathrm {d} \over \zeta }\left(\zeta {\mathrm {d} \over \mathrm {d} \zeta }y\right)+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}\right)y=0} On définit l'opérateur linéaire :
P ( y ) = ζ d d ζ {\displaystyle P(y)=\zeta {\mathrm {d} \over \mathrm {d} \zeta }} On résout donc :
! P 2 ( y ) + ( R i 2 − 1 4 ) y = 0 {\displaystyle P^{2}(y)+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}\right)y=0}
qu'on peut donc factoriser en :
( P + i R i 2 − 1 / 4 ) × ( P − i R i 2 − 1 / 4 ) y = 0 {\displaystyle \left(P+\mathrm {i} {\sqrt {Ri^{2}-1/4}}\right)\times \left(P-i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}\right)y=0}
On obtient donc les équations linéaires :
( P ± i R i 2 − 1 / 4 ) y = 0 {\displaystyle \left(P\pm i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}\right)y=0} Cela consiste donc à résoudre :
ζ d y d ζ ± i R i 2 − 1 / 4 y = 0 ⇔ d y y = ± i R i 2 − 1 / 4 d ζ ζ {\displaystyle \zeta {dy \over d\zeta }\pm i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}y=0\,\Leftrightarrow \,{dy \over y}=\pm i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}{d\zeta \over \zeta }} Donc,
log ( y ) = ± i R i 2 − 1 4 log ( ζ ) {\displaystyle \log(y)=\pm i{\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )} et
y = K e ± i R i 2 − 1 4 log ( ζ ) {\displaystyle y=Ke^{\pm i{\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )}} La solution s'écrit donc sous la forme :
y = K cos ( R i 2 − 1 4 log ( ζ ) ) {\displaystyle y=K\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )\right)} La solution est donc :
ψ ^ = K ζ cos ( R i 2 − 1 4 log ( ζ ) ) {\displaystyle {\hat {\psi }}=K{\sqrt {\zeta }}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )\right)} Après quelques calculs, l'on obtient :
ψ ( x , z ) = h 0 a u 0 1 + λ z 1 a 2 + x 2 [ a cos ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) − x sin ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) ] {\displaystyle \psi (x,z)=h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{1 \over a^{2}+x^{2}}\left[a\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)-x\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)\right]} On rappelle que w = ∂ ψ ∂ x {\displaystyle w={\partial \psi \over \partial x}}
Donc,
w ( x , z ) = − h 0 a u 0 1 + λ z 2 x ( a 2 + x 2 ) 2 [ a cos ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) − x sin ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) ] − h 0 a u 0 1 + λ z 1 a 2 + x 2 sin ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) = h ′ ( x ) u 0 1 + λ z cos ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) + h 0 a u 0 1 + λ z x 2 − a 2 ( a 2 + x 2 ) 2 sin ( R i 2 − 1 4 log ( 1 + λ z ) ) {\displaystyle w(x,z)=-h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{2x \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\left[a\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)-x\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)\right]-h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{1 \over a^{2}+x^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)=h'(x)u_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)+h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)}
Solution non hydrostatique L'équation à résoudre est la suivante:
∂ 2 ψ ^ ∂ z 2 + ( N 2 u 0 2 ( 1 + λ z ) 2 − β 2 4 − ξ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}(1+\lambda z)^{2}}-{\beta ^{2} \over 4}-\xi ^{2}\right){\hat {\psi }}=0} On introduit le terme β qui ne correspond pas à l'approximation de Boussines et est non hydrostatique pour pouvoir utiliser le théorème des résidus au sein des calculs.
Démonstration dans le cas non hydrostatique
On pose ζ = 1 + λ z {\displaystyle \zeta =1+\lambda z}
Donc,
λ 2 ∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 + ( N 2 u 0 2 ζ 2 − β 2 4 − ξ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}{\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}\zeta ^{2}}-{\beta ^{2} \over 4}-\xi ^{2}\right){\hat {\psi }}=0} Donc,
∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 + ( N 2 λ 2 u 0 2 ζ 2 − β 2 / 4 + ξ 2 λ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({N^{2} \over \lambda ^{2}u_{0}^{2}\zeta ^{2}}-{\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}\right){\hat {\psi }}=0} On pose :
κ 2 = β 2 / 4 + ξ 2 λ 2 {\displaystyle \kappa ^{2}={\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}} On résout donc :
∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 + ( N 2 λ 2 u 0 2 ζ 2 − κ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({N^{2} \over \lambda ^{2}u_{0}^{2}\zeta ^{2}}-\kappa ^{2}\right){\hat {\psi }}=0} Donc,
∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 + ( R i 2 ζ 2 − κ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({Ri^{2} \over \zeta ^{2}}-\kappa ^{2}\right){\hat {\psi }}=0} À nouveau, on pose ψ ^ = ζ y {\displaystyle {\hat {\psi }}={\sqrt {\zeta }}y}
On rappelle que :
∂ 2 ψ ^ ∂ ζ 2 = ζ y ″ + 1 ζ y ′ − 1 4 1 ζ 3 2 y {\displaystyle {\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}={\sqrt {\zeta }}y''+{1 \over {\sqrt {\zeta }}}y'-{1 \over 4}{1 \over \zeta ^{3 \over 2}}y} On résout donc :
ζ y ″ + 1 ζ y ′ − 1 4 1 ζ 3 2 y + ( R i 2 ζ 2 − κ 2 ) ψ ^ = 0 {\displaystyle {\sqrt {\zeta }}y''+{1 \over {\sqrt {\zeta }}}y'-{1 \over 4}{1 \over \zeta ^{3 \over 2}}y+\left({Ri^{2} \over \zeta ^{2}}-\kappa ^{2}\right){\hat {\psi }}=0} On multiplie par ζ 3 2 {\displaystyle \zeta ^{3 \over 2}}
ζ 2 y ″ + ζ y ′ − 1 4 y + ( R i 2 − κ 2 ζ 2 ) y = 0 {\displaystyle \zeta ^{2}y''+\zeta y'-{1 \over 4}y+(Ri^{2}-\kappa ^{2}\zeta ^{2})y=0} Donc,
ζ 2 y ″ + ζ y ′ + ( R i 2 − 1 4 − κ 2 ζ 2 ) y = 0 {\displaystyle \zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}-\kappa ^{2}\zeta ^{2}\right)y=0} On définit μ = R i 2 − 1 4 {\displaystyle \mu ={\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}}
Donc,
ζ 2 y ″ + ζ y ′ + ( μ 2 − κ 2 ζ 2 ) y = 0 {\displaystyle \zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(\mu ^{2}-\kappa ^{2}\zeta ^{2}\right)y=0} On pose t = κ ζ {\displaystyle t=\kappa \zeta }
On obtient donc :
ζ 2 y ″ + ζ y ′ + ( μ 2 − t 2 ) y = 0 {\displaystyle \zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=0} Donc,
ζ 2 d 2 y d ζ 2 + ζ d y d ζ + ( μ 2 − t 2 ) y = 0 {\displaystyle \zeta ^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} \zeta ^{2}}+\zeta {dy \over d\zeta }+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=0} Donc,
t 2 κ 2 d 2 y d t 2 ( d t d ζ ) 2 + t κ d y d t ( d t d ζ ) + ( μ 2 − t 2 ) y = t 2 κ 2 d 2 y d t 2 κ 2 + t κ d y d t κ + ( μ 2 − t 2 ) y = t 2 d 2 y d t 2 + t d y d t + ( μ 2 − t 2 ) y = 0 {\displaystyle {t^{2} \over \kappa ^{2}}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} t^{2}}\left({dt \over \mathrm {d} \zeta }\right)^{2}+{t \over \kappa }{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}\left({\mathrm {d} t \over \mathrm {d} \zeta }\right)+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y={t^{2} \over \kappa ^{2}}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} t^{2}}\kappa ^{2}+{t \over \kappa }{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}\kappa +\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=t^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} t^{2}}+t{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=0} Ceci est une équation de Bessel modifiée. Comme la solution y est finie à l'infini, la solution est :
y ( t ) = α K i μ ( t ) {\displaystyle y(t)=\alpha K_{\mathrm {i} \mu }(t)} où K i μ {\displaystyle K_{\mathrm {i} \mu }}
Donc,
y ( ζ ) = α K i μ ( κ ζ ) {\displaystyle y(\zeta )=\alpha K_{\mathrm {i} \mu }(\kappa \zeta )} Donc,
ψ ^ ( ξ , z ) = α ( ξ ) 1 + λ z K i μ [ κ ( 1 + λ z ) ] {\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,z)=\alpha (\xi ){\sqrt {1+\lambda z}}K_{\mathrm {i} \mu }[\kappa (1+\lambda z)]} On fait z = 0 . On obtient alors :
ψ ^ ( ξ , 0 ) = α ( ξ ) 1 + λ 0 K i μ [ κ ( 1 + λ 0 ) ] = α ( ξ ) K i μ ( β 2 / 4 + ξ 2 λ 2 ) = α ( ξ ) K i μ ( β 2 / 4 + ξ 2 λ ) {\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,0)=\alpha (\xi ){\sqrt {1+\lambda 0}}K_{\mathrm {i} \mu }[\kappa (1+\lambda 0)]=\alpha (\xi )K_{\mathrm {i} \mu }\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}}\right)=\alpha (\xi )K_{\mathrm {i} \mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}} \over \lambda }\right)}
On suppose que la montagne est une sorcière d'Agnesi . Donc,
h ( x ) = h 0 a 2 a + 2 + x 2 {\displaystyle h(x)=h_{0}{a^{2} \over a+2+x^{2}}} Sa transformée de Fourier est donc :
h ^ ( ξ ) = h 0 a e − a ξ {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }} La condition aux limites s'écrit w ( x , 0 ) = u 0 h ′ ( x ) {\displaystyle w(x,0)=u_{0}h'(x)}
ψ ( x , 0 ) = u 0 h ( x ) {\displaystyle \psi (x,0)=u_{0}h(x)} Donc, sa transformée de Fourier devient :
ψ ^ ( ξ , 0 ) = u 0 ( ^ h ( ξ ) = u 0 h 0 a e − a ξ {\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,0)=u_{0}{\hat {(}}h(\xi )=u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }} On obtient donc :
α ( ξ ) K i μ ( β 2 / 4 + ξ 2 λ ) = ψ ^ ( ξ , 0 ) = u 0 h 0 a e − a ξ ⇔ α ( ξ ) = u 0 h 0 a e − a ξ λ K i μ [ ( β 2 / 4 + ξ 2 ) / λ ] {\displaystyle \alpha (\xi )K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}} \over \lambda }\right)={\hat {\psi }}(\xi ,0)=u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\,\Leftrightarrow \,\alpha (\xi )={u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\lambda \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}} Donc,
ψ ^ ( ξ , z ) = u 0 h 0 a e − a ξ λ K i μ [ ( β 2 / 4 + ξ 2 ) / λ ] 1 + λ z K i μ ( β 2 / 4 + ξ 2 ( 1 + λ z ) λ ) {\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,z)={u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\lambda \over K_{\mathrm {i} \mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}{\sqrt {1+\lambda z}}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)} On effectue une transformée de Fourier inverse :
ψ ( x , z ) = u 0 h 0 a 1 + λ z λ ∫ 0 ∞ e − a ξ K i μ [ ( β 2 / 4 + ξ 2 ) / λ ] K i μ ( β 2 / 4 + ξ 2 ( 1 + λ z ) λ ) e i ξ x d ξ = u 0 h 0 a 1 + λ z λ ∫ 0 ∞ 1 K i μ [ ( β 2 / 4 + ξ 2 ) / λ ] K i μ ( β 2 / 4 + ξ 2 ( 1 + λ z ) λ ) e ( i x − a ) ξ d ξ {\displaystyle \psi (x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\lambda \int _{0}^{\infty }{e^{-a\xi } \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\lambda \int _{0}^{\infty }{1 \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)e^{(ix-a)\xi }\mathrm {d} \xi } On suppose que β est petit et l'on utilise le théorème des résidus. Soient ξ j {\displaystyle \xi _{j}} K i μ {\displaystyle K_{i\mu }}
On a alors :
ψ ( x , z ) = u 0 h 0 a 1 + λ z ∑ j = 1 n i K i μ [ ξ j ( 1 + λ z ) / λ ] K i μ ′ ( ξ j / λ ) e ( i x − a ) ξ j = u 0 h 0 a 1 + λ z ∑ j = 1 n K i μ [ ξ j ( 1 + λ z ) / λ ] K i μ ′ ( ξ j / λ ) sin ( x ξ j ) e − a ξ j {\displaystyle \psi (x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}i{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}e^{(ix-a)\xi _{j}}=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\sin(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}} La vitesse verticale s'exprime donc comme suit :
w ( x , z ) = u 0 h 0 a 1 + λ z ∑ j = 1 n ξ j λ K i μ [ ξ j ( 1 + λ z ) / λ ] K i μ ′ ( ξ j / λ ) cos ( x ξ j ) e − a ξ j {\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{\xi _{j} \over \lambda }{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\cos(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}}
Comparaison des solutions analytiques avec les valeurs mesurées Les modèles analytiques prédisent à peu près correctement la longueur d'onde des ondes orographiques. On notera que la longueur d'onde varie généralement entre 6 et 20 km et donc, il n'est guère surprenant que les modèles puissent reproduire d'une manière assez précise les données expérimentales. Cependant, ces modèles sous-estiment grossièrement l'amplitude de ces ondes (par un facteur 4)[ 19] [ 20] [ 21] , [ 22]
Extension aux rotors Lignes de courant d'un système d'ondes/rotor en forme d'œil de chat. Les lignes bleues représentent le courant synoptique. Les lignes orange représentent le courant inversé dans le rotor. La ligne rouge représente la zone de transition.Scorer aurait une formulation concernant l'existence des rotors[ 23]
On suppose que le fluide est incompressible et l'on peut donc définir une fonction ligne de courant ψ {\displaystyle \psi }
, u = − ∂ ψ ∂ z , w = ∂ ψ ∂ x {\displaystyle u=-{\partial \psi \over \partial z},\qquad w={\partial \psi \over \partial x}}
L'équation de Long simplifiée (qui est non linéaire à la suite des conditions aux limites) s'écrit[ 6] , [ 24]
∂ 2 η ∂ x 2 + ∂ 2 η ∂ z 2 + ℓ 2 η = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}\eta =0} où η est le déplacement des lignes de courant.
Équation non linéaire non dimensionnelle
Une formulation plus complexe est donnée dans les références [ 25] , [ 26] , [ 27]
On définit les quantités non dimensionnelles suivantes :
x ~ = x L {\displaystyle {\tilde {x}}={x \over L}} L est une longueur de référence comme par exemple la demi largeur de la montagne. z ~ = z N 0 u 0 {\displaystyle {\tilde {z}}={zN_{0} \over u_{0}}} N0 est la fréquence de Brunt-Väisälä caractéristique, u 0 {\displaystyle u_{0}} u ~ = u u 0 {\displaystyle {\tilde {u}}={u \over u_{0}}} w ~ = w L N 0 2 u 0 2 {\displaystyle {\tilde {w}}={wLN_{0}^{2} \over u_{0}^{2}}} ρ ~ = ρ ρ 0 {\displaystyle {\tilde {\rho }}={\rho \over \rho _{0}}} ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} p ~ = p N 0 ρ 0 g u 0 {\displaystyle {\tilde {p}}={pN_{0} \over \rho _{0}gu_{0}}} g est l'accélération de la gravité.On définit :
β = N 0 u 0 g μ = u 0 N 0 L {\displaystyle \beta ={N_{0}u_{0} \over g}\qquad \mu ={u_{0} \over N_{0}L}} Il existe une fonction ψ sans dimension telle que
u = − ∂ ψ ∂ z ~ w = ∂ ψ ∂ x ~ {\displaystyle u=-{\partial \psi \over \partial {\tilde {z}}}\quad w={\partial \psi \over \partial {\tilde {x}}}}
L'équation non linéaire concernant ψ est la suivante :
∂ 2 ψ ∂ z ~ 2 + μ 2 ∂ 2 ψ ∂ x ~ 2 − N 2 ( ψ ) { z ~ − ψ + β 2 [ ( ∂ ψ ∂ z ~ ) 2 + μ 2 ( ∂ ψ ∂ x ~ ) 2 − 1 ] } {\displaystyle {\partial ^{2}\psi \over \partial {\tilde {z}}^{2}}+\mu ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial {\tilde {x}}^{2}}-N^{2}(\psi )\left\{{\tilde {z}}-\psi +{\beta \over 2}\left[\left({\partial \psi \over \partial {\tilde {z}}}\right)^{2}+\mu ^{2}\left({\partial \psi \over \partial {\tilde {x}}}\right)^{2}-1\right]\right\}} On a typiquement
N 0 ≈ 10 − 2 {\displaystyle N_{0}\approx 10^{-2}} ,
u 0 ≈ 10 {\displaystyle u_{0}\approx 10} et
g = 10 . Donc,
β ≈ 10 − 2 {\displaystyle \beta \approx 10^{-2}} . On peut donc supposer que
β ≈ 0 {\displaystyle \beta \approx 0} et l'on peut donc ignorer les termes non linéaires. La largeur caractéristique d'une montagne de 1000 mètres de haut est de l'ordre de 5000 mètres. On obtient alors
μ = 0.2 {\displaystyle \mu =0.2} et il peut être inapproprié de négliger ce terme.
On revient maintenant à l'équation de Long :
∂ 2 η ∂ x 2 + ∂ 2 η ∂ z 2 + ℓ 2 η = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}\eta =0} On suppose que l'onde est périodique de période k . On a donc :
∂ 2 η ∂ x 2 = − k 2 δ {\displaystyle {\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}=-k^{2}\delta } On obtient donc :
− k 2 η + ∂ 2 η ∂ z 2 + ℓ 2 η = 0 {\displaystyle -k^{2}\eta +{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}\eta =0} Donc, finalement[ 28]
− k 2 η + ∂ 2 η ∂ z 2 = ( k 2 ℓ 2 ) {\displaystyle -k^{2}\eta +{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}=(k^{2}\ell ^{2})} Finalement le critère pour la formation de rotors est le suivant[ 28] , [ 29]
| ∂ η ∂ z | > 1 {\displaystyle \left|{\partial \eta \over \partial z}\right|>1} Une autre approche simplifiée est donnée par Paul Queney . La variation du déplacement des lignes de courant est beaucoup plus importante suivant z que suivant x . On a donc :
| ∂ 2 η ∂ x 2 | ≪ | ∂ 2 η ∂ z 2 | {\displaystyle \left|{\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}\right|\ll \left|{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}\right|} On peut alors « simplifier » l'équation de Long comme suit comme l'avait fait Paul Queney concernant la théorie de l'œil de chat[ 30]
∂ 2 η ∂ z 2 = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}=0} Les détails du calcul sont donnés dans l'article Rotor (météorologie).
Notes et références ↑ Exploration du monstre , p. 64↑ (en) Richard Scorer , « Theory of waves in the lee of mountains », Tellus 1949 , p. 41-56 (lire en ligne) ↑ (en) Richard Scorer , « Theory of airflow over mountains: II - The flow over a ridge », Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol. 79, no 339, janvier 1953 , p. 70-83↑ (en) Richard Scorer , « Theory of airflow over mountains: III - Airstream characteristics », Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol. 80, no 345, juillet 1954 , p. 417–428↑ (en) Ming Xue, « Chapter 2. Mountain forced flows », 2005 p. 28↑ a et b (en) Dale R Durran, « Lee waves and mountain waves » (consulté le 8 décembre 2011 ) ↑ (en) Yuh Lang Lin, Mesoscale Dynamics , Cambridge University Press , 2007 , 629 p. , p. 110↑ (en) « Scorer parameter », AMS Glossary , American Meteorological Society (consulté le 26 septembre 2015 ) ↑ Storm and Cloud Dynamics , p. 790↑ Le papier de Smith contient une erreur où le terme en u0 a été oublié dans la formule 2.27 ↑ (en) Durran Dale, Mesoscale Meteorology and Forecasting , American Meteorological Society , 1986 , 793 p. (ISBN 978-0-933876-66-8 ) , p. 472-492↑ Influence des montagnes sur l'atmosphère , p. 98↑ Influence des montagnes sur l'atmosphère , p. 102↑ (en) Carmen Nappo , An Introduction to Atmospheric Gravity Waves , vol. 85, Amsterdam/Boston/Paris etc., Academic Press , 2002 , 276 p. (ISBN 0-12-514082-7 ) , p. 59↑ Influence des montagnes sur l'atmosphère , p. 101↑ Influence des montagnes sur l'atmosphère , p. 106↑ La définition de ξc est incorrecte dans la formule 2.68. L'auteur a écrit z/z au lieu de z/x . ↑ (en) Teddie L. Keller, « Implication of the Hydrostatic Assumption on Atmospheric Gravity Waves », Journal of the Atmospheric Sciences American Meteorological Society , vol. 51, no 13, 1994 (lire en ligne) ↑ (en) Ronald B. Smith, « The Generation of Lee Waves by the Blue Ridge », Journal of the Atmospheric Sciences vol. 33, mars 1976 , p. 513 (lire en ligne) ↑ Influence des montagnes sur l'atmosphère , p. 119↑ (en) « Fifty years ago ... », Organisation météorologique mondiale , avril 2008 ↑ (en) Donald B. McCann, « Diagnosing and forcasting aircraft turbulence with steepening mountain waves », National Weather Digest vol. 30, décembre 2006 , p. 77-92 (lire en ligne) ↑ (en) Richard Scorer , Proceedings of the Symposium on Mountain Meteorology , Colorado State University , 26 juin 1967 , 221 p. (lire en ligne) , p. 91↑ (en) Robert Long , « Some Aspects of the Flow of Stratified Fluids I. A Theoretical Investigation », Tellus 1953 (lire en ligne) ↑ (en) Robert Long , « Some Aspects of the Flow of Stratified Fluids III. Continuous Density Gradients », Tellus 1955 (lire en ligne) ↑ (en) Kevin Davis , Flow of Nonuniformly Stratified Fluid of Large Depth over Topography , MIT , 1997 , 64 p. (lire en ligne [PDF] ) , p. 16↑ (en) M. Humi , « Long’s equation in terrain following coordinates », Nonlinear Processes in Geophysics 7 août 2009 , p. 535 (lire en ligne) ↑ a et b (en) Roger G. Barry , Mountain Weather and Climate Third Edition , Cambridge, Cambridge University Press , 2008 , 506 p. (ISBN 978-0-521-86295-0 ) , p. 161↑ (en) Richard Scorer , Causes and consequences of standing waves. Symposium on Mountain Meteorology , Colorado State University , 1967 (lire en ligne) , chap. 122, p. 75-101↑ (en) Paul Queney, « Rotor Phenomena in the Lee of Mountains », Tellus , vol. VII, no 3, 1955 (lire en ligne) Bibliographie [Storm and Cloud Dynamics] (en) William Cotton et Richard Anthes, Storm and Cloud Dynamics , vol. 44, Academic Press , coll. « International geophysics series », 1989 , 880 p. (ISBN 0-12-192530-7 ) [Exploration du monstre] (en) Robert Whelan , Exploring the Monster Mountain Lee Waves : the Aerial Elevator , Wind Canyon Books, 2000 , 170 p. (ISBN 978-1-891118-32-6 ) [Influence des montagnes sur l'atmosphère] (en) Ronald Smith, « The influence of mountains on the atmosphere », Advances in Geophysics vol. 21, 1979 (lire en ligne) Articles connexes Portail de l’aéronautique Portail de la météorologie 
![{\displaystyle {\partial p \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}\left[{\partial \rho \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e0564711dc06a7c25827a76c553c806ea1196d)
![{\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b5d92b605888a44a49bce2a7524c0eacf6360b)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left({\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}\cos(nkx)+{\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}\sin(nkx)-k^{2}[a_{n}(z)\cos(kx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]+\ell ^{2}[a_{n}(z)\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260396cecac5d36cc0125d724aef803c2ab8414b)
![{\displaystyle w(x,z)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf12ddf22ace54d2ae616e569591a32c234e6f5)
![{\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]e^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d3925632200f2e1d2b71e4d3eeedc73ce04a87)
![{\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\times 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef97cce248def817d58c7f0735393eb38911b990)
![{\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61eb1747a386761571565fae30d621b2d2495163)
![{\displaystyle b_{n}(z)=\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1193af3f3fcc6cccbb4ba2e498de60f5cb180d)
![{\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\sin(nkx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b47087a6bec817105ec9b26201b9d9530fb749)
![{\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\times 1+\alpha '_{n}\times 0\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\times 1+\beta '_{n}\times 0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\sin(nkx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6083fc4a212892743ecece47b415cba1c39365)
![{\displaystyle w(x,z)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d45f9e3c8e3cc998b8d8d29896292de1548267e)
![{\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20da5c00cef8a7a990954538a38465a8c9de1ad)
![{\displaystyle {\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{-\sin(\ell z)(a^{2}+x^{2})-2x[a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z)] \over (a^{2}+x^{2})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889424e8ce8cae1bf6b084b2fe534d25c20f0ad3)
![{\displaystyle u'=-u_{0}h_{m}a{x^{2}+(z+a)^{2}-2(z+a)^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}=-u_{0}h_{m}a{x^{2}-(z+a)^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}=u_{0}h_{m}a{(z+a)^{2}-x^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1c898bfb87fa5bfd20ce73b049347541258243)
![{\displaystyle w(x,z)=-2u_{0}{h_{m}a(a+z)x \over [(a+z)^{2}+x^{2}]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb25a4f99db14275f9b8cb06a39209ce4d389e3)
![{\displaystyle w(x,z)=-2u_{0}h'(x){(a+z) \over a}\times {(a^{2}+x^{2})^{2} \over [(a+z)^{2}+x^{2}]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112efa7c7431edc6546831c4a85d305c687b16cc)
![{\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{\xi _{j} \over \lambda }{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\cos(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3440fee8da9c2c0900a27fd92933d472cabbf669)
![{\displaystyle \psi (x,z)=h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{1 \over a^{2}+x^{2}}\left[a\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)-x\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bd235599b3b091dcda5b9a3becc42dfd6e5884)
![{\displaystyle w(x,z)=-h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{2x \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\left[a\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)-x\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)\right]-h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{1 \over a^{2}+x^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)=h'(x)u_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)+h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbde01eb8d04c6729cb9d8306546faea63debba)
![{\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,z)=\alpha (\xi ){\sqrt {1+\lambda z}}K_{\mathrm {i} \mu }[\kappa (1+\lambda z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e81f724594b56495e213ace04efa3b036db91f)
![{\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,0)=\alpha (\xi ){\sqrt {1+\lambda 0}}K_{\mathrm {i} \mu }[\kappa (1+\lambda 0)]=\alpha (\xi )K_{\mathrm {i} \mu }\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}}\right)=\alpha (\xi )K_{\mathrm {i} \mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}} \over \lambda }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7109c7b04212623c9619cb5ea41d904f8b5cf31)
![{\displaystyle \alpha (\xi )K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}} \over \lambda }\right)={\hat {\psi }}(\xi ,0)=u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\,\Leftrightarrow \,\alpha (\xi )={u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\lambda \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf9d0eac9db526eb9df9d9b9459d941556303ed)
![{\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi ,z)={u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\lambda \over K_{\mathrm {i} \mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}{\sqrt {1+\lambda z}}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b22812afad1fb0c01bc7493bb41af67797817e)
![{\displaystyle \psi (x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\lambda \int _{0}^{\infty }{e^{-a\xi } \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\lambda \int _{0}^{\infty }{1 \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)e^{(ix-a)\xi }\mathrm {d} \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd25ce89fa3cc77fd53b923f7ab8237804d62edc)
![{\displaystyle \psi (x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}i{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}e^{(ix-a)\xi _{j}}=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\sin(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d53d2dcc5ba2f6c2a6a0c3504a1a64c865a5c2e)
![{\displaystyle {\partial ^{2}\psi \over \partial {\tilde {z}}^{2}}+\mu ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial {\tilde {x}}^{2}}-N^{2}(\psi )\left\{{\tilde {z}}-\psi +{\beta \over 2}\left[\left({\partial \psi \over \partial {\tilde {z}}}\right)^{2}+\mu ^{2}\left({\partial \psi \over \partial {\tilde {x}}}\right)^{2}-1\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0bd8167d4afa44d697684b34d3b09bf78f1dd5)
Portail de l’aéronautique 
Portail de la météorologie 
