Équation de Navier

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En mécanique des milieux continus, l’équation de Navier est l'équation qui relie la déformation d'un solide élastique linéaire isotrope aux forces appliquées.

L'équation de Navier

On note u ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right)} le champ des déplacements et f v {\displaystyle \mathbf {f} _{v}} la force volumique qui s'exerce.

On a  :

ρ 0 ∂ 2 u ∂ t 2 = ( λ + μ ) g r a d ( d i v u ) + μ Δ u + f v {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\left(\lambda +\mu \right)\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right)+\mu \Delta \mathbf {u} +\mathbf {f} _{v}}

où λ {\displaystyle \lambda } et μ {\displaystyle \mu } sont les coefficients de Lamé du solide et ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} sa masse volumique. On peut écrire cette équation en fonction du module de Young E et du coefficient de Poisson ν {\displaystyle \nu }  :

ρ 0 ∂ 2 u ∂ t 2 = E 2 ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) g r a d ( d i v u ) + E 2 ( 1 + ν ) Δ u + f v {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}={\frac {E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}}\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right)+{\frac {E}{2(1+\nu )}}\Delta \mathbf {u} +\mathbf {f} _{v}}

Démonstration

On note σ   {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}~} le tenseur des contraintes et e   {\displaystyle {\boldsymbol {e}}~} le tenseur des déformations. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

ρ 0 ∂ 2 u ∂ t 2 = d i v σ + f v {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} _{v}}

D'autre part, on a la loi de Hooke :

σ = λ T r ( e ) I + 2 μ e {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {e}}}

d'où (en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein)) :

( d i v σ ) i = λ ( d i v ( T r ( e ) I ) ) i + 2 μ ( d i v e ) i   = λ ∂ ∂ x j ( T r ( e ) I ) i j + 2 μ ∂ e i j ∂ x j   = λ ∂ e l l ∂ x i + 2 μ ∂ e i j ∂ x j   = λ ∂ 2 u l ∂ x i ∂ x l + μ ∂ ∂ x j ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i )   = ( λ + μ ) ∂ 2 u j ∂ x i ∂ x j + μ ∂ 2 u i ∂ x j 2   = ( λ + μ ) ( g r a d ( d i v u ) ) i + μ ( Δ u ) i {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}\right)_{i}&=\lambda \left(\mathbf {div} \left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} \right)\right)_{i}+2\mu \left(\mathbf {div} {\boldsymbol {e}}\right)_{i}\\\ &=\lambda {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} \right)_{ij}+2\mu {\frac {\partial e_{ij}}{\partial x_{j}}}\\\ &=\lambda {\frac {\partial e_{ll}}{\partial x_{i}}}+2\mu {\frac {\partial e_{ij}}{\partial x_{j}}}\\\ &=\lambda {\frac {\partial ^{2}u_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}+\mu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\\\ &=(\lambda +\mu ){\frac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}\\\ &=\left(\lambda +\mu \right)(\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right))_{i}+\mu (\Delta \mathbf {u} )_{i}\end{aligned}}}

ce qui donne la relation cherchée.

Notes et références

Voir aussi

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