Équation de Liouville

Pour l'équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (hamiltonien).

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En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles non linéaire satisfaite par le facteur conforme ${\displaystyle f}$ d'une métrique ${\displaystyle f^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$ sur une surface de courbure de Gauss constante K :

${\displaystyle \Delta \;\log f=-Kf^{2},}$

où ${\displaystyle \Delta }$ est l'opérateur de Laplace.

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$

Solution générale

Dans un domaine simplement connexe ${\displaystyle \Omega }$, la solution générale est donnée par :

${\displaystyle u(z,{\bar {z}})={\frac {1}{2}}\ln \left(4{\frac {|\mathrm {d} f(z)/\mathrm {d} z|^{2}}{(1+K|f(z)|^{2})^{2}}}\right)}$

où ${\displaystyle f}$ est une fonction fonction méromorphe localement univalente et ${\displaystyle 1+K|f(z)|^{2}}$^[Quoi ?] quand ${\displaystyle K<0}$.

Voir aussi

Équations de Gauss-Codazzi

Référence

• Portail de la géométrie