Équation de Chapman-Kolmogorov

En théorie des probabilités, et plus spécifiquement dans la théorie des processus stochastiques markoviens, l'équation de Chapman-Kolmogorov est une égalité qui met en relation les lois jointes de différents points de la trajectoire d'un processus stochastique. Cette équation a été mise en évidence indépendamment par le mathématicien britannique Sidney Chapman et le mathématicien russe Andreï Kolmogorov.

Supposons que { f_i } est une suite de variables aléatoires, c'est-à-dire un processus stochastique. Soit

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

la densité de la loi jointe des variables f₁ ... f_n. Alors l'équation de Chapman–Kolmogorov s'écrit

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

qui n'est rien d'autre que le calcul de la dernière loi marginale.

Notons que nous n'avons pas besoin de supposer un quelconque ordre temporel des variables aléatoires.

Application aux chaînes de Markov

Lorsque le processus stochastique considéré est markovien, l'équation de Chapman-Kolmogorov devient une relation entre les lois de transition. Dans le cadre des chaînes de Markov, on suppose que i₁ < ... < i_n, et grâce à la propriété de Markov, on a

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),}$

où les probabilités conditionnelles ${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})}$ sont les probabilités de transition entre les temps ${\displaystyle i>j}$. Ainsi, l'équation de Chapman–Kolmogorov devient

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.}$

Lorsque la loi de probabilité de l'espace d'états de la chaîne de Markov est discret et que la chaîne est homogène, l'équation de Chapman-Kolmogorov peut être exprimée en termes de produit de matrices (éventuellement de dimension infinie), de la manière suivante :

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

où P(t) est la matrice de transition, i.e., si X_t est l'état du processus au temps t, alors pour tout couple de points i et j de l'espace d'état, on a

${\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).\,}$

Travaux de Wolfgang Döblin

Le mathématicien français d'origine allemande Wolfgang Döblin termine son mémoire sur la résolution de cette équation mi-février 1940 alors qu'il était dans l'armée de terre Française, il se suicide après l'annonce de la demande de l'Armistice de 1940. Le pli cacheté 11-668 qu'il envoya à l'Académie des sciences ne fut ouvert qu'en 2000^[1].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Chapman–Kolmogorov equation » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Équation de Fokker-Planck (Équation de Kolmogorov forward)
• Équation de Kolmogorov backward
• Chaîne de Markov
• Équation maîtresse (physique)
• Wolfgang Döblin

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