Välin jako

Välin jako tarkoittaa matematiikassa lukuvälin pilkkomista pienempiin väleihin. Jako on joukko niistä pisteistä, joissa väli katkaistaan. Esimerkiksi väli ${\displaystyle [1,5]}$ voitaisiin jakaa osaväleihin ${\displaystyle [1,4]}$ ja ${\displaystyle [4,5]}$. Välin jako olisi tällöin ${\displaystyle P=\{1,4,5\}}$.

Välin ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ jako ${\displaystyle P}$ on pistejono ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$, missä ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}$. Jako ${\displaystyle P}$ jakaa välin ${\displaystyle [a,b]}$ kompakteihin osaväleihin ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k}],k=1,\dots ,q}$, missä ${\displaystyle x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{q-1}<x_{q}=b}$.

Jakoa käytetään Riemann-integraalin määrittelyssä.

Välin ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{m},b_{m}]\subset \mathbb {R} ^{m}}$ jako ${\displaystyle P}$ on karteesinen tulojoukko

${\displaystyle P=P^{(1)}\times \dots \times P^{(m)}}$,

missä ${\displaystyle P^{(j)}}$ on komponenttivälin ${\displaystyle I^{(j)}=[a_{j},b_{j}]}$ jako ${\displaystyle q_{j}}$:een kompaktiin osaväliin, kun ${\textstyle j=1,\dots ,m}$.^[1] ${\displaystyle P}$ jakaa välin ${\displaystyle I}$ yhteensä ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\dotsb q_{m}}$:ään kompaktiin osaväliin. Jos näitä osavälejä merkitään ${\displaystyle I_{\alpha }}$:lla, missä ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$ ja ${\displaystyle \alpha _{j}=1,\dots ,q_{j}}$, niin väli ${\displaystyle I}$ voidaan kirjoittaa osavälijakonsa avulla:

${\displaystyle I=\bigcup _{\alpha }I_{\alpha }=\bigcup _{\alpha _{1}=1}^{q_{1}}\dots \bigcup _{\alpha _{m}=1}^{q_{m}}I_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}}$^[1]

Jako ${\displaystyle P'}$ on jaon ${\displaystyle P}$ hienonnus eli alijako, mikäli ${\displaystyle P\subset P'}$. Tällöin sanotaan myös, että jako ${\displaystyle P'}$ on hienompi kuin jako ${\displaystyle P}$, ja jako ${\displaystyle P}$ on karkeampi kuin jako ${\displaystyle P'}$.^[1] Hienonnus tarkoittaa siis "tiheämpää" jakoa, johon kuuluvat myös karheamman eli "harvemman" jaon alkiot. Esimerkin jakoa P voisi hienontaa vaikka lisäämällä jakoon luvut 2 ja 3: ${\displaystyle P'=\{1,2,3,4,5\}}$.

Kahden jaon ${\displaystyle P'}$ ja ${\displaystyle P''}$ yhdiste ${\displaystyle P=P'\cup P''}$ on molempien jakojen yhteinen hienonnus.^[1]

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).